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En mathématiques, le « critère d'Eisenstein », publié auparavant par Theodor Schönemann^[1], donne des conditions suffisantes pour qu'un polynôme à coefficients entiers soit irréductible sur l'anneau des polynômes à coefficients rationnels $\mathbb {Q} [X]$ .

Énoncé

Considérons un polynôme $P (X)$ à coefficients entiers, que l'on note

P(X)=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\ldots +a_{1}X+a_{0}.

Supposons qu'il existe un nombre premier $p$ tel que :

$\forall i\in \{0,1,\ldots ,n-1\},$ $p$ divise $a_{i}$ ;
$p$ ne divise pas $a n$ ;
$p 2$ ne divise pas $a 0$ .

Alors $P (X)$ est irréductible dans l'anneau $\mathbb {Q} [X]$ des polynômes à coefficients rationnels. Si de plus $P (X)$ est primitif (par exemple s'il est unitaire) alors, d'après le lemme de Gauss, $P (X)$ est irréductible dans l'anneau $\mathbb {Z} [X]$ des polynômes à coefficients entiers.

Démonstration

On réduit les coefficients de $P (X)$ modulo $p$ . On obtient un polynôme de F_p[X] de la forme $cX n$ avec $c$ élément non nul du corps fini F_p.

Raisonnons par l'absurde et supposons que $P = P (X)$ se factorise en $P = QR$ , où $Q$ et $R$ sont des polynômes de $\mathbb {Q} [X]$ de degrés non nuls. D'après le lemme de Gauss, on peut supposer que $Q$ et $R$ sont à coefficients entiers. En réduisant modulo $p$ , on voit que $Q mod p$ et $R mod p$ sont nécessairement des monômes $dX k$ et $eX n-k$ , où $de = c$ . En particulier, $Q (0)$ et $R (0)$ sont divisibles par $p$ , donc $a 0 = Q (0) R (0)$ est divisible par $p 2$ , ce qui est une contradiction. Donc $P$ est irréductible dans $\mathbb {Q} [X]$ .

Exemples

Considérons le polynôme $P(X)=3X^{4}+15X^{2}+10.$

Nous examinons différents cas pour les valeurs de p suivantes :

p = 2. 2 ne divise pas 15, on ne peut pas conclure ;
p = 3. 3 ne divise pas 10, on ne peut pas conclure ;
p = 5. 5 divise 15, le coefficient de $X 2$ , et 10 le coefficient constant. 5 ne divise pas 3, le coefficient dominant. En outre, 25 = 5² ne divise pas 10. Ainsi, nous concluons grâce au critère d'Eisenstein que $P (X)$ est irréductible.

Dans certains cas, le choix du nombre premier peut ne pas être évident, mais peut être facilité par un changement de variable de la forme $Y = X + a$ , appelé translation. Par exemple, considérons le polynôme cyclotomique d'indice un entier premier $p$ , c’est-à-dire le polynôme

{\frac {X^{p}-1}{X-1}}=X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X+1.

Ce polynôme satisfait le critère d'Eisenstein, dans une nouvelle variable $Y$ après une translation $X = Y + 1$ . Le coefficient constant est alors égal à $p$ , le coefficient dominant est égal à 1 et les autres coefficients sont divisibles par $p$ d'après les propriétés des coefficients binomiaux.

Généralisations

Eisenstein avait formulé son critère^[2] pour les cas où A est soit l'anneau des entiers relatifs, soit celui des entiers de Gauss. Ce sont deux anneaux principaux, mais le critère se généralise comme suit, sans modification de la démonstration^[3] :

Soit A un anneau factoriel, K son corps des fractions et un polynôme à coefficients dans A, noté

P(X)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}

.

On suppose qu'il existe un élément premier $p$ de A tel que

$\forall i\in \{0,1,\ldots ,n-1\},$ $p$ divise $a_{i}$ ;
$p$ ne divise pas $a n$ ;
$p 2$ ne divise pas $a 0$ .

Alors $P (X)$ est irréductible dans K[X]. Si de plus $P (X)$ est primitif, alors il est aussi irréductible dans A[X].

Plus généralement^[4], si

$\forall i\in \{0,1,\ldots ,k-1\},$ $p$ divise $a_{i}$ ,
$p$ ne divise pas $a k$ et
$p 2$ ne divise pas $a 0$ ,

alors l'un des facteurs irréductibles de $P (X)$ dans A[X] est de degré $\geq k$ .

Notes et références

↑ (de) T. Schönemann, « Von denjenigen Moduln, welche Potenzen von Primzahlen sind », J. reine angew. Math., vol. 32,‎ 1846, p. 93-118 (lire en ligne), p. 100.
↑ (de) G. Eisenstein, « Über die Irreductibilität und einige andere Eigenschaften der Gleichung, von welcher die Theilung der ganzen Lemniscate abhängt », J. reine angew. Math., vol. 39,‎ 1850, p. 160-179 (lire en ligne), p. 167.
↑ Serge Lang, Algèbre [détail des éditions], lire en ligne.
↑ (en) W. E. Deskins, Abstract Algebra, Dover, 1995 (lire en ligne), p. 326, exercice 10.