Couronne (géométrie)

Une couronne circulaire a deux rayons comme on le voit sur la figure, un rayon intérieur ${\displaystyle r}$ et un rayon extérieur ${\displaystyle R}$

En géométrie, une couronne ou plus précisément une couronne circulaire est une région du plan comprise entre deux cercles concentriques de rayons différents. Elle a deux rayons qui sont ceux de chacun des deux cercles. Une couronne sphérique ou couronne solide est une généralisation à trois dimensions de la couronne circulaire. C'est la région entre deux sphères concentriques de rayons différents^[1]. Elle a aussi deux rayons. On appelle épaisseur de la couronne la différence des deux rayons, qui vaut ${\displaystyle R-r}$ (notations de la première image).

Couronne circulaire

L'aire d'une couronne circulaire est la différence entre les aires du plus grand disque de rayon R et du plus petit du rayon r :

${\displaystyle A=\pi R^{2}-\pi r^{2}=\pi \left(R^{2}-r^{2}\right).}$

Couronne sphérique

Une couronne sphérique

Le volume d'une couronne sphérique est la différence entre les volumes de la plus grande boule de rayon R et de la plus petite de rayon r :

${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi R^{3}-{\frac {4}{3}}\pi r^{3}=V={\frac {4}{3}}\pi (R^{3}-r^{3})}$

Une approximation du volume d'une couronne sphérique mince est la surface de la sphère interne multipliée par l'épaisseur t de la couronne^[2] :

${\displaystyle V\approx 4\pi r^{2}t,}$

quand t est très petit par rapport à r (${\displaystyle t\ll r}$).

Applications

Une fonction holomorphe définie dans une couronne est développable en série de Laurent.

Références

1. (en) Weisstein, Eric W., « Spherical Shell » [archive du 2 août 2016], sur mathworld.wolfram.com, Wolfram Research, Inc. (consulté le 7 janvier 2017)
2. Andrey Varlamov, Lev Aslamazov; scientific editor, A.A. Abrikosov, Jr. ; translators, A.A. Abrikosov, Jr., J. Vydryg, & D. Znamenski, The wonders of physics, Singapore, World Scientific, 2012 (ISBN 978-9814374156, lire en ligne [archive du 20 décembre 2017]), p. 78