Construction de l'anneau des polynômes

En algèbre, l'anneau des polynômes formels (à une indéterminée) est un ensemble contenant des nombres, comme les entiers, les réels ou les complexes, et un objet supplémentaire, souvent noté X. Tous les éléments de l'anneau de polynômes s'additionnent et se multiplient : on trouve des polynômes comme 2X, X2 ou encore X2 – X – 1. De plus, une propriété importante est que les polynômes 1, X, X2, X3... sont linéairement indépendants, c'est-à-dire qu'aucune combinaison linéaire non triviale de ces polynômes n'est nulle. L'objet de cet article est de présenter une construction rigoureuse de cet ensemble et en particulier de l'objet X, appelé indéterminée.

Cette construction met en lumière les propriétés des éléments de cet ensemble, noté A[X], éléments qui sont appelés polynômes. On retrouve les propriétés qui caractérisent les nombres entiers, par exemple l'addition et la multiplication qui sont associatives et commutatives. Il existe un élément neutre pour l'addition et la multiplication des polynômes, mais si pour l'addition, tout polynôme possède un symétrique, tel n'est pas le cas pour la multiplication. L'élément X ne possède pas d'inverse, autrement dit 1/X n'est pas un polynôme.

L'ensemble des nombres, appelés coefficients, est noté A. Il peut être choisi comme l'un des ensembles de nombres cités ou encore comme n'importe quel anneau commutatif. L'ensemble des coefficients des polynômes peut être, par exemple, constitué de polynômes ou d'éléments d'un corps fini.

Il existe d'autres constructions plus générales d'anneaux de polynômes, comme celles traitées dans « Polynôme en plusieurs indéterminées » ou dans « Anneau non commutatif de polynômes ».

Préambule

Le livre Arithmetica de Diophante est le premier à décrire l'ajout d'une lettre à un ensemble de nombres.

Éléments d'histoire

L'idée d'associer une lettre à un ensemble de nombres date du IIIe siècle. Diophante définit la lettre S (la lettre grecque sigma) ainsi : « Le nombre qui possède une quantité indéterminée d’unités s’appelle l’arithme, et sa marque distinctive est S »[1]. Il ne travaille que sur les nombres entiers et les rationnels. Il définit les règles d'addition et de multiplication : « L'inverse de l'arithme multiplié par le bicarré de l'arithme donne le cube de l'arithme »[2], ce qui signifie que S4 est divisible par S et que le résultat vaut S3. Cette idée est petit à petit généralisée aux nombres irrationnels par la civilisation arabe, à l'origine de notre choix[3] de la lettre X. Si la construction est rudimentaire, elle permet aux mathématiciens de la Renaissance de résoudre toutes les équations jusqu'au degré 4, mais nous sommes cependant encore loin d'une construction rigoureuse, au sens de cet article. Au XVIe siècle, Viète utilise pour la première fois le terme de polynôme, au sens décrit dans l'introduction[4].

Au XVIIe siècle apparaît un premier formalisme, celui des fonctions[5]. La variable x remplace la lettre X et le polynôme devient une fonction. Cet apport se traduit en résultats concrets, il permet de montrer le théorème de d'Alembert-Gauss qui assure l'existence d'autant de racines que le degré du polynôme, dans l'ensemble des nombres complexes.

Une question de Vandermonde, un mathématicien du XVIIIe siècle, finit par remettre à l'honneur le concept de polynôme formel, qui fait usage d'une lettre X qui s'additionne et se multiplie, mais qui n'est pas une fonction. Il cherche sans succès à résoudre l'équation cyclotomique à l'aide de radicaux[6], c'est-à-dire de nombres rationnels, de l'unité imaginaire i, des quatre opérations adjointes et des fonctions racine nièmes. C'est finalement Gauss qui y parvient[7] à l'aube du XIXe siècle. Pour cela il considère les polynômes, non comme des fonctions, mais comme des équivalents de nombres entiers, avec une division euclidienne, l'équivalent des nombres premiers et une décomposition unique en facteurs premiers. Il utilise pour cela des polynômes à coefficients dans les congruences, issues de l'arithmétique modulaire. Si les coefficients du polynôme sont choisis dans les congruences, les fonctions polynomiales et les polynômes formels diffèrent. Et seul l'aspect formel permet de conclure dans ce cas particulier.

Ce n'est qu'au XXe siècle que le besoin de rigueur fait apparaître la construction présentée dans cet article.

Polynôme vu comme une suite

Polynôme représenté par un tableau par Al-Samaw'al

Il existe différentes méthodes pour représenter un polynôme[8], la plus classique est la suivante, illustrée sur deux polynômes exemples P et Q :

Cette écriture peut être rapprochée de celle de l'écriture décimale positionnelle des nombres 101101 et 951, qui peuvent se voir comme[9] :

 +   X5   X4   X3   X2   X   1 
 P   1  0  1  1  0  1
 Q   9  5  1
 P+Q   1  0  1  10  5  2
 ×   X7   X6   X5   X4   X3   X2   X   1 
 P   1  0  1  1  0  1
 Q   9  5  1
 1  0  1  1  0  1
 5  0  5  5  0  5
 9  0  9  9  0  9
 P×Q   9  5  10  14  6  10  5  1

Comme l'addition et la multiplication des polynômes suivent presque les mêmes lois que celles des nombres, il peut être pratique, pour additionner et multiplier P et Q de faire usage d'un tableau. C'est ainsi qu'al-Samaw'al, un mathématicien arabe du XIIe siècle, représente les polynômes, comme illustré sur la figure de gauche[10]. Sous forme de tableaux, et en utilisant les méthodes classiques d'addition et de multiplication sur les nombres, on obtient :

Les lois de l'addition et de la multiplication sont presque les mêmes, la seule différence réside dans les retenues, qui n'existent pas avec les polynômes. Cette manière de voir un polynôme amène à l'usage d'une écriture condensée. Sous cette forme, un polynôme peut être vu comme une suite. Pour des raisons de commodité, il est plus simple de noter la suite à l'envers, c'est-à-dire en commençant par le coefficient de 1, puis celui de X etc. Avec ce système de notation :

Ce système est à l'origine de la construction formelle des polynômes exposée ici.

Construction

A désigne un anneau (unitaire) commutatif.

Polynôme

Avec la logique du préambule, un polynôme est défini de la manière suivante :

Polynôme à une indéterminée à coefficients dans A — Un polynôme est une suite à valeurs dans A et nulle à partir d'un certain rang[11].

Un polynôme P est ainsi, dans le cas général, une suite (p0, p1, p2,..., pk...) d'éléments de A, que l'on note aussi (pk). Nulle à partir d'un certain rang signifie qu'il existe un entier N tel que si n est plus grand que N, alors pn est égal à 0.

L'ensemble de tous les polynômes ainsi défini est alors noté A[X].

On dispose d'une première propriété, correspondant à une tautologie de la définition :

Égalité entre deux polynômes — Deux polynômes sont égaux si, et seulement si, les suites de leurs coefficients sont égales.

Polynômes particuliers (monômes)

La suite nulle est appelée polynôme nul.

Un monôme est un polynôme dont tous les coefficients sont nuls, sauf, au plus, l'un d'entre eux. Un monôme non nul, correspondant à la suite nulle (0,0,...) sauf en un unique indice k, est appelé « monôme de degré k ». Cette seule valeur non nulle de la suite est appelée le coefficient du monôme.

Le monôme (0, 0, 0, ... , pk, 0, 0, ...) est appelé monôme de degré k du polynôme (p0, p1, p2, ... , pk, ...). Le monôme non nul et de plus grand degré d'un polynôme est appelé monôme dominant et si le monôme dominant possède un coefficient égal à 1, le polynôme est dit unitaire.

Addition et multiplications

À l'image des ensembles de nombres, l'intérêt des polynômes réside dans l'existence d'une addition et d'une multiplication. Ces opérations correspondent à la description du préambule. De manière formelle, l'addition se définit par :

Addition des polynômes[12] — La somme de deux polynômes est égale à la suite dont la valeur indexée par k est la somme des deux coefficients des deux polynômes indexés par k.

Pour vérifier que la somme est bien définie, il faut s'assurer que la suite P + Q est bien nulle à partir d'un certain rang. Si la suite définissant P est nulle à partir du rang m et si celle définissant Q est nulle à partir du rang n, on remarque bien que la suite définissant P + Q est nulle à partir du rang égal au maximum de m et de n.

Il existe deux multiplications, la première est dite externe et correspond à la multiplication d'un nombre élément de A et d'un polynôme. C'est un exemple de multiplication d'un vecteur par un scalaire.

Multiplication scalaire[13] — La multiplication scalaire d'un élément a de A par un polynôme est la suite dont valeur indexée par k est le produit de a par le coefficient du polynôme indexé par k.

De même que l'addition des polynômes correspond à l'addition des suites, la multiplication scalaire correspond à la multiplication scalaire des suites. Il est une fois encore aisé de vérifier que le résultat est encore une suite nulle, à partir d'un certain rang.

La deuxième multiplication correspond au produit de deux polynômes. Elle est calquée sur le produit décrit dans le préambule :

Produit de polynômes[14] — Soient P égal à (p k) et Q égal à (q l) deux polynômes à coefficients dans A, le produit PQ est le polynôme défini par :

Cette définition correspond exactement au calcul du préambule. Le coefficient d'indice 0 de PQ est le produit des coefficients d'indice 0 de P et de Q. Le coefficient d'indice 1 de PQ est la somme de deux termes : le produit du coefficient d'indice 0 de P et du coefficient d'indice 1 de Q pour le premier, le produit du coefficient d'indice 1 de P et du coefficient d'indice 0 de Q pour le second. Une fois encore les deux définition concordent. Il en est de même pour tous les coefficients.

Vérifier que le produit est bien une suite nulle à partir d'un certain rang n'est pas très difficile. Si la suite P est nulle à partir du rang p, que la suite Q est nul à partir du rang q et que r est un entier plus grand que p + q, le coefficient d'indice r dans la suite PQ est une somme de produits dont un (au moins) des facteurs est toujours nul, ce qui montre que le polynôme PQ est une suite nulle à partir de l'indice p + q.

Indéterminée

On dispose de deux notations différentes pour les polynômes, soit à l'aide du symbole X, soit par les suites. Une unique définition permet de rendre ces deux notations cohérentes. Elle concerne l'objet symbolisé par la lettre X :

Indéterminée[15] — Le polynôme égal à la suite (0,1,0,0,...) nulle partout, sauf pour l'indice 1 où elle vaut 1, est appelé indéterminée et généralement noté X.

Avec cette définition, si n est un entier strictement positif, la suite nulle partout, sauf pour l'indice n où elle vaut 1, est égale à Xn, d'après la règle de multiplication de l'anneau. Pour généraliser cette propriété, on définit le polynôme X0 comme étant égal à la suite nulle partout, sauf pour l'indice 0 où elle vaut 1. Ce qui permet de disposer de la règle :

Considérons le polynôme P du préambule. Il correspond à la suite (1,0,1,1,0,1,0,...) ; on peut l'écrire de la manière suivante :

Dans le cas général, un polynôme P, égal à (p0, p1, p2,..., pn,0 ,...) s'écrit de manière équivalente :

Avec cette nouvelle définition, un monôme est un polynôme de la forme aXn, où a est un élément de A appelé coefficient du monôme et n un entier positif, appelé degré du monôme.

L'ensemble A[X] ressemble maintenant à celui couramment utilisé en mathématiques et appelé anneau des polynômes. La lettre X symbolise maintenant un objet rigoureusement défini.

La définition de l'indéterminée diffère selon le contexte. On en trouve une plus générale dans l'article « Polynôme en plusieurs indéterminées ». Si la définition de l'indéterminée pour les séries formelles est analogue à celle présentée ici, les analystes utilisent parfois une convention différente[16], l'indéterminée est la lettre X et selon les besoins, cette lettre désigne soit le polynôme formel décrit ici, soit la variable x qui transforme l'objet série formelle en une fonction analytique.

Polynômes constants

La notation (1) n'est pas totalement usuelle. En général, on ne trouve pas le facteur X0 dans l'expression d'un polynôme[17]. Pour comprendre pourquoi il peut être omis, il est nécessaire d'étudier l'application φ de A dans A[X], qui à « a » associe le polynôme « aX0 ». Un peu de vocabulaire est utile :

Constante d'un polynôme — La valeur du coefficient d'indice 0 d'un polynôme est appelé constante du polynôme[réf. nécessaire]. Un polynôme composé d'un seul monôme de degré 0 est appelé polynôme constant[18].

L'application φ est ainsi une application de A dans l'ensemble des polynômes constants de A[X]. Elle possède de nombreuses propriétés, tout d'abord c'est une bijection, c'est-à-dire qu'à un élément de A est associé un unique polynôme constant par φ et pour tout polynôme constant, il existe un unique élément de A d'image ce polynôme constant. Au sens ensembliste, A et les polynômes constants sont deux ensembles copie l'un de l'autre.

L'ensemble des polynômes constants muni de l'addition et de la multiplication des polynômes est un sous-anneau (unitaire) de l'anneau des polynômes. L'addition de A est transportée par l'application φ, c'est-à-dire :

Il en est de même pour la multiplication, ainsi les structures (A, +, .) et l'ensemble des polynômes constants muni des mêmes opérations, sont des copies l'une de l'autre. L'unité 1 de A est envoyée sur l'unité 1X0. On parle d'isomorphisme d'anneaux.

L'élément neutre 0 pour l'addition de A est aussi l'élément neutre de A[X] pour l'addition des polynômes, il en est de même pour l'élément neutre 1 de la multiplication de A. Enfin, la multiplication externe de a par un polynôme P donne le même résultat que le produit de aX0 par le polynôme P.

Ces différentes raisons autorisent à « identifier » A avec l'ensemble des polynômes constants. Cela revient à considérer que A[X] contient l'ensemble de nombres A et l'ensemble de nombres A est vu comme constitué des polynômes constants. Cette identification revient à dire que le polynôme X0 est égal à 1. On trouve maintenant exactement la notation habituelle :

L'ensemble des polynômes A[X] correspond bien à celui décrit dans l'introduction.

Propriétés élémentaires

Une telle construction ne possède d'intérêt que si l'ensemble obtenu est riche en propriétés, ce qui est le cas. Ici ne sont présentées que les propriétés élémentaires de l'ensemble des polynômes, l'article « Polynôme formel » synthétise les propriétés essentielles.

Structure d'anneau

L'addition des polynômes possède les propriétés suivantes :

Addition — L'ensemble des polynômes à coefficients dans A possède un élément neutre 0 pour l'addition, tout élément possède un opposé, l'addition est associative et commutative. Ces propriétés confèrent à l'ensemble des polynômes muni de l'addition une structure de groupe abélien.

Ces propriétés sont simples à établir. En fait, tout ensemble de suites à valeurs dans un groupe abélien possède une structure de groupe abélien.

La multiplication est un peu moins riche :

Multiplication — L'ensemble des polynômes à coefficients dans A possède un élément neutre 1 pour la multiplication, la multiplication est associative et commutative. Enfin, la multiplication est distributive sur l'addition.

La multiplication est un peu moins riche car tout élément non nul ne possède pas nécessairement un inverse, ainsi le polynôme X ne possède pas d'inverse. Ces différentes propriétés permettent d'établir :

Anneau[19] — L'ensemble A[X] des polynômes en une indéterminée et à coefficients dans A possède une structure d'anneau commutatif unitaire. Cet anneau est intègre si A est intègre : si P et Q sont des polynômes, PQ est le polynôme nul si, et seulement si, P ou Q est nul.

Degré et valuation

Un indicateur important du polynôme est son degré :

Degré d'un polynôme[20] — Le degré d'un polynôme est le degré de son monôme dominant si le polynôme est non nul et moins l'infini sinon. Autrement dit, si le polynôme P (p0, p1, p2, ..., pk...) n'est pas nul, le degré est égal à l'entier n tel que pn soit le coefficient non nul d'indice le plus élevé :

Si le polynôme est nul, on pose [21]. Parfois, on ne définit pas le degré du polynôme nul[22].

La définition de la somme et du produit des polynômes montre que :

Propriétés du degré — Si l'anneau A est intègre, le degré du produit de deux polynômes de degrés respectifs n et m est égal à la somme n + m. Le degré de la somme de deux polynômes de degrés respectifs n et m est inférieur ou égal au maximum de n et de m.

On remarque par exemple que le coefficients du monôme dominant du produit de deux polynômes non nuls est le produit des deux coefficients des monômes dominants des deux polynômes. Ce qui montre que si P et Q sont deux polynômes non nuls, PQ est encore un polynôme non nul, autrement dit l'anneau A[X] est intègre. On remarque encore que le produit d'un polynôme non nul par X est toujours un polynôme de degré au moins 1, le polynôme X n'est donc pas inversible.

Valuation d'un polynôme[23] — La valuation d'un polynôme est le degré de son monôme non nul de plus petit degré, si le polynôme est non nul, et plus l'infini sinon. Autrement dit, si le polynôme P (p0, p1, p2,..., pk,...) n'est pas nul, la valuation est égale à l'entier m tel que pm soit le coefficient non nul d'indice le moins élevé :

Si le polynôme est nul, on pose val .

On dispose de propriétés équivalentes pour les valuations :

Propriétés de la valuation — Si l'anneau A est intègre, la valuation du produit de deux polynômes de valuations respectives n et m est égal à la somme n + m. La valuation de la somme de deux polynômes de valuation respectives n et m, est supérieure ou égale au minimum de n et de m.

Il existe en algèbre une définition de la valuation un peu différente et plus générale. La valuation spécifique définie dans ce paragraphe devient avec l'autre définition une valuation particulière.

Une des conséquences de ces deux applications, degré et valuation, est l'existence de deux divisions dans l'anneau des polynômes à coefficients dans un corps (c'est-à-dire si tous les éléments non nuls de A sont inversibles). L'une est dite « euclidienne » et l'autre « selon les puissances croissantes ». Elles sont traitées dans l'article « Division d'un polynôme ».

Notes et références

Notes

  1. La première inconnue par l'IREM de Poitiers p. 27.
  2. Paul Ver Eecke, Diophante d'Alexandrie. Les Six Livres Arithmétiques et le Livre des Nombres Polygones, Liège, Desclée de Brouwer, 1926, p. 2.
  3. C. Kahn et O. Schladenhaufen, « Mathématique arabe au lycée », sur IREM de Strasbourg, .
  4. (en) Florian Cajori, A History of Mathematics, AMS, , 5e éd., 524 p. (lire en ligne), p. 139.
  5. DahanPeiffer, p. 216.
  6. A. T. Vandermonde, Mémoire sur la résolution des équations, Mémoires de l'Académie des Sciences de Paris, 1771.
  7. C. F. Gauss, Recherches arithmétiques, 1801, trad. Antoine Charles Marcelin Poullet-Delisle, éd. Courcier, 1807, p. 429-489.
  8. Lang, Algèbre en propose plusieurs.
  9. Ce rapprochement est proposé dans Opérations arithmétiques et algèbre des polynômes par M. Delord, membre du (GRIP) groupe de réflexion interdisciplinaire sur les programmes.
  10. DahanPeiffer, p. 91.
  11. Cette définition est par exemple celle de Lang, Algèbre, p. 97 dans l'édition en anglais de 2002.
  12. Cette définition est celle de Sarlat 2001, p. 4.
  13. Cette définition est celle de Sarlat 2001, p. 5.
  14. Cette définition est celle de Sarlat 2001, p. 6.
  15. On trouve cette définition par exemple dans Bercovier, Polynômes.
  16. Henri Cartan, Théorie élémentaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes [détail de l’édition] page 9 (nouveau tirage juin 1985).
  17. On trouve le formalisme habituel, par exemple, dans Bercovier, Polynômes.
  18. On trouve cette définition, par exemple dans Bercovier, Polynômes.
  19. Voir par exemple : R. Ferréol, Polynôme, un cours de MPSI.
  20. Degré d'un polynôme et d'une fraction rationnelle sur bibmath.net.
  21. N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, p. IV.3.
  22. C'est par exemple le choix de Bercovier, Polynômes.
  23. Sarlat 2001, p. 12.

Références

Read other articles:

هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالات متعلقة بها. (يونيو 2019) جاركو يوفانوفيتش معلومات شخصية الميلاد 26 ديسمبر 1925  بلغراد  الوفاة 25 مارس 1985 (59 سنة)   باريس  مواطنة صربيا  الحياة العملية المهنة مغن مؤلف،  وملح

 

San Bonaventura da BagnoregioStato Italia RegioneLazio LocalitàRoma Coordinate41°52′10.79″N 12°34′20.61″E / 41.869665°N 12.572392°E41.869665; 12.572392Coordinate: 41°52′10.79″N 12°34′20.61″E / 41.869665°N 12.572392°E41.869665; 12.572392 Religionecattolica TitolareBonaventura da Bagnoregio Diocesi Roma Consacrazione15 maggio 1999 CompletamentoXX secolo Sito webSito della Parrocchia Modifica dati su Wikidata · Manuale La chiesa...

 

Achter-Pommeren (kaart uit 1905) Achter-Pommeren (Duits: Hinterpommern; Pools: Pomorze Zaodrzańskie) is het gedeelte van het historische hertogdom Pommeren en de latere Pruisische en na 1870 Duitse provincie Pommeren dat ten oosten ligt van de rivier de Oder. Het behoort in zijn geheel tot de Poolse woiwodschap West-Pommeren. Het westelijke deel van Pommeren heet Voor-Pommeren. Dit gebied is na 1945 grotendeels bij Duitsland gebleven, maar de in Voor-Pommeren gelegen hoofdstad Stettin (het h...

توزيع الأيونات عبر غشاء نصف نفاذ ، مثلما في خلية حية التدرج الكهركيميائي (بالإنجليزية: electrochemical gradient)‏ هو تدرج لجهد كهركيميائي (بالإنجليزية: electrochemical potential)‏ لأيونات يمكنها الانتقال عبر غشاء. يتكون التدرج من جزئين، تدرج كيميائي، بمعنى تدرج في تركيز مادة مذابة في محلول على نا

 

Chata pri Popradskom plese Die Chata pri Popradskom plese Die Chata pri Popradskom plese Lage Popradské pleso, Mengusovská dolina; Slowakei; Talort: Štrbské Pleso, Vysoké Tatry Gebirgsgruppe Hohe Tatra Geographische Lage: 49° 9′ 18,1″ N, 20° 4′ 47,6″ O49.15501920.0798751495Koordinaten: 49° 9′ 18,1″ N, 20° 4′ 47,6″ O Höhenlage 1495 m n.m. Chata pri Popradskom plese (Slowakei) Erbaut 1958 B...

 

Glifos mayas en estucoMuseo de Sitio Dr. Alberto Ruz L'Huillier en Palenque, México. Las lenguas indígenas de América son aquellas lenguas originadas y desarrolladas en el continente americano, incluyendo las islas de su zócalo continental, desde su primer poblamiento humano hasta antes de la llegada de los colonizadores europeos. Muchas de ellas se han extinguido, especialmente en los últimos siglos. Constan de varias familias de lenguas, así como diversas lenguas aisladas y no clasifi...

Rui Maria de AraújoBiografiKelahiran21 Mei 1964 (59 tahun)Timor Leste   Minister of Health (en)  15 September 2017 – 22 Juni 2018  9è Perdana Menteri Timor Leste 16 Februari 2015 – 15 September 2017 ← Xanana Gusmão – Marí Alkatiri →   Minister of Health (en)  20 September 2001 – 8 Agustus 2007 Data pribadiAgamaGereja Katolik Roma PendidikanUniversitas Otago KegiatanPekerjaanPolitikus dan peserta foru...

 

この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。(このテンプレートの使い方)出典検索?: 歌舞伎町ビル火災 – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL(2016年2月) 歌舞伎町ビル火災 火災後のビル全景。場

 

Approximation of a function by its tangent line at a point Tangent line at (a, f(a)) In mathematics, a linear approximation is an approximation of a general function using a linear function (more precisely, an affine function). They are widely used in the method of finite differences to produce first order methods for solving or approximating solutions to equations. Definition Given a twice continuously differentiable function f {\displaystyle f} of one real variable, Taylor's theorem for the...

Italian TV series or program E le stelle stanno a guardareDirected byAnton Giulio MajanoStarringOrso Maria GuerriniAndrea ChecchiAnna Maria GuarnieriGiancarlo GianniniCountry of originItalyOriginal releaseNetworkProgramma NazionaleRelease7 September 1971 (1971-09-07) E le stelle stanno a guardare is a 1971 Italian adaptation of A. J. Cronin's 1935 novel The Stars Look Down. It was written and directed by Anton Giulio Majano and was produced by Radiotelevisione Italiana. Th...

 

French chef and culinary writer (1846–1935) Escoffier redirects here. For other people named Escoffier, see Escoffier (surname). Auguste EscoffierBornGeorges Auguste Escoffier(1846-10-28)28 October 1846Villeneuve-Loubet, FranceDied12 February 1935(1935-02-12) (aged 88)Monte Carlo, MonacoOccupation(s)Chef, restaurateur, writerSpouse Delphine Daffis ​ ​(m. 1878; died 1935)​ChildrenPaul, Daniel, GermaineSignature Georges Auguste Escoffier (F...

 

Scottish-born explorer, sailor and harbourmaster John MackayBorn(1839-03-26)26 March 1839Inverness, Scotland, United KingdomDied11 March 1914(1914-03-11) (aged 74)South Brisbane, Queensland, AustraliaOccupation(s)Explorer, sailor, harbourmasterYears active1860−1908SpouseMarion Grave of John Mackay John Mackay (26 March 1839 – 11 March 1914) was a Scottish-born explorer, sailor and harbourmaster best known for having the town of Mackay, Queensland named after him. Early life ...

English hard rock band This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Ten band – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (May 2020) (Learn how and when to remove this template message) TenTen at Fleetwoodstock Festival 2011Background informationOriginManchester, EnglandGenresHard rock, AORYears act...

 

French footballer Jordan Amavi Amavi with Nice in 2022Personal informationFull name Jordan Kévin Amavi[1]Date of birth (1994-03-09) 9 March 1994 (age 29)[2]Place of birth Toulon, FranceHeight 1.76 m (5 ft 9 in)[2]Position(s) Left backTeam informationCurrent team Brest (on loan from Marseille)Number 19Youth career2001–2010 Toulon2010–2013 NiceSenior career*Years Team Apps (Gls)2011–2013 Nice B 20 (3)2013–2015 Nice 55 (4)2015–2017 Aston Vil...

 

1988 studio album by Steven Curtis ChapmanReal Life ConversationsStudio album by Steven Curtis ChapmanReleasedApril 1, 1988GenreCCM, soft rock, popLength41:27LabelSparrowProducerPhil NaishSteven Curtis Chapman chronology First Hand(1987) Real Life Conversations(1988) More to This Life(1989) Professional ratingsReview scoresSourceRatingAllMusic[1] Real Life Conversations is the second album by American contemporary Christian music singer and songwriter Steven Curtis Chapman. Th...

Діліжанський національний парк 40°39′23″ пн. ш. 45°01′17″ сх. д. / 40.65638889002777745° пн. ш. 45.0213888900277723° сх. д. / 40.65638889002777745; 45.0213888900277723Координати: 40°39′23″ пн. ш. 45°01′17″ сх. д. / 40.65638889002777745° пн. ш. 45.0213888900277723° сх. д. / 40.656388...

 

Object propelled through the air This article has multiple issues. Please help improve it or discuss these issues on the talk page. (Learn how and when to remove these template messages) This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Projectile – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (December 2018) (...

 

This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Deliberate Prose – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (April 2015) (Learn how and when to remove this template message) First edition (publ. 2000 HarperCollins) Deliberate Prose - Essays 1952 to 1995 is a collection of essays penned by Allen Ginsberg i...

MasqueradeNama lainHangul광해: 왕이 된 남자 Hanja光海: 王이 된 男子 Alih Aksara yang DisempurnakanGwanghae: Wang-i Doen NamjaMcCune–ReischauerKwanghae: Wangi Toen Namja Sutradara Choo Chang-min Produser Im Sang-jin Won Dong-yeon Kim Ho-seong Mikey Lee Ditulis oleh Hwang Jo-yoon PemeranLee Byung-hun Ryu Seung-ryong Han Hyo-jooPenata musikMowg Kim Jun-seongSinematograferLee Tae-yoonPenyuntingNam Na-yeongDistributorCJ EntertainmentTanggal rilis 13 September 2012 ...

 

The Drowned Man: A Hollywood FableWritten byPunchdrunk (directed by Felix Barrett and Maxine Doyle)Date premieredJune 20, 2013 (2013-06-20)Place premiered31 London St, London United KingdomOriginal languageEnglishOfficial site The Drowned Man was an original theatre production by British theatre company Punchdrunk, in collaboration with the Royal National Theatre. Overview Set within the fictional Temple Pictures, The Drowned Man was Punchdrunk's largest theatre installati...

 

Strategi Solo vs Squad di Free Fire: Cara Menang Mudah!