Soit P un polytope (convexe) de dimension d, symétrique par rapport à l'origine (c'est-à-dire que si A est un sommet de P, -A en est également un). Notant le nombre de k-faces de P (on a donc sommets, arêtes, etc., et ), la minoration conjecturée par Kalai[1] est : .
Exemples
Le cube et l'octaèdre, deux exemples pour lesquels la borne de la conjecture est atteinte.
En dimension 2, les polygones symétriques ont un nombre pair de côtés ; on a donc , et on a bien .
En dimension 3, le cube (, et ) et l'octaèdre régulier, son dual (, et ) atteignent tous deux le minorant : .
En dimensions supérieures, l'hypercube [0,1]d a exactement 3d faces (on peut le voir en remarquant que chaque k-face est déterminée par ses projections sur les d axes de coordonnées ; chaque projection est l'origine, le point 1, ou le segment [0,1], ce dernier cas se produisant k fois). Si la conjecture est vraie, l'hypercube est donc une réalisation du minorant[1]. Plus généralement, tous les polytopes de Hanner(en) (définis par récurrence comme produits cartésiens et duaux de polytopes de Hanner déjà construits) ont exactement 3d faces.
Résultats partiels
Pour , la conjecture est démontrée[2] ; elle est également vraie pour les polytopes simpliciaux(en) (ceux dont toutes les faces sont des simplexes) : elle résulte dans ce cas d'une conjecture de Imre Bárány, démontrée par Richard Peter Stanley[3],[4] (ces deux articles sont cités par Kalai comme motivation pour sa conjecture[1]). La conjecture a été démontrée pour d'autres classes de polytopes, comme les polytopes de Hansen[5], mais reste ouverte dans le cas général.
Kalai avait formulé une autre conjecture affirmant que le f-vecteur correspondant à P « dominait » le f-vecteur d'au moins un polytope de Hanner H (de la même dimension), c'est-à-dire qu'en notant le nombre de k-faces de H, on avait pour tout k. Mais cette conjecture (qui implique la conjecture 3d) a été réfutée en 2009[2].
↑(en) Richard P. Stanley, « On the number of faces of centrally-symmetric simplicial polytopes », Graphs and Combinatorics, vol. 3, no 1, , p. 55-66 (DOI10.1007/BF01788529, MR932113).