Cercle de Van Lamoen

Le cercle de Van Lamoen passe par les centres de six cercles circonscrits ${\displaystyle A_{b}}$, ${\displaystyle A_{c}}$, ${\displaystyle B_{c}}$, ${\displaystyle B_{a}}$, ${\displaystyle C_{a}}$, ${\displaystyle C_{b}}$

En géométrie plane euclidienne, le cercle de Van Lamoen d'un triangle ${\displaystyle \mathrm {T} }$ est le cercle qui contient les centres des cercles circonscrits des six triangles définis à l'intérieur de ${\displaystyle \mathrm {T} }$ par ses trois médianes^[1],[2].

Plus précisément, pour les trois sommets ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ d'un triangle ${\displaystyle \mathrm {T} }$, on note ${\displaystyle G}$ son centre de gravité (l'intersection de ses trois médianes). Soient ${\displaystyle M_{a}}$, ${\displaystyle M_{b}}$, et ${\displaystyle M_{c}}$ les milieux des côtés ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle CA}$, et ${\displaystyle AB}$, respectivement. Il apparait alors que les centres des cercles circonscrits des six triangles intérieurs ${\displaystyle AGM_{c}}$, ${\displaystyle BGM_{c}}$, ${\displaystyle BGM_{a}}$, ${\displaystyle CGM_{a}}$, ${\displaystyle CGM_{b}}$, et ${\displaystyle AGM_{b}}$ se situent sur un cercle commun, qui est le cercle de Van Lamoen de ${\displaystyle \mathrm {T} }$^[2].

Histoire

Le cercle de Van Lamoen porte le nom du mathématicien Floor van Lamoen (nl) qui l'a posé comme problème en 2000^[3],[4]. Une preuve a été fournie en 2001^[4], et les éditeurs de l'American Mathematical Monthly en 2002^[1],[5].

Propriétés

Le centre du cercle de Van Lamoen est le point ${\displaystyle X(1153)}$ dans la liste complète des centres du triangle de Clark Kimberling^[1].

En 2003, il a été mis en évidence que la réciproque du théorème est presque vraie, dans le sens où, pour un point ${\displaystyle P}$ quelconque à l'intérieur du triangle ${\displaystyle \mathrm {T} }$, et ${\displaystyle AA'}$, ${\displaystyle BB'}$, et ${\displaystyle CC'}$ les céviennes passant par ${\displaystyle P}$, c'est-à-dire les segments de droite qui relient chaque sommet à ${\displaystyle P}$ et sont étendus jusqu'à ce que chacun rencontre le côté opposé. Alors les centres des cercles circonscrits des six triangles ${\displaystyle APB'}$, ${\displaystyle APC'}$, ${\displaystyle BPC'}$, ${\displaystyle BPA'}$, ${\displaystyle CPA'}$, et ${\displaystyle CPB'}$ sont cocyliques si et seulement si ${\displaystyle P}$ est le centre de gravité de ${\displaystyle \mathrm {T} }$ (ce qui donne le cercle de Van Lamoen) ou son orthocentre (l'intersection de ses trois hauteurs, cas du cercle d'Euler)^[6]. Une preuve plus simple de ce résultat a été donnée en 2005^[7].

Généralisation

Dans le cas d'un point quelconque du plan, Kimberling avait remarqué que les six centres des cercles circonscrits étaient tous sur une même conique^[8].

Une extension du théorème de van Lamoen est donné par Myakishev :

On considère deux triangles ${\displaystyle ABC}$ et ${\displaystyle A_{1}B_{1}C_{1}}$, deux triangles homologiques de centre d'homologie ${\displaystyle M}$ et de même centre de gravité ${\displaystyle G}$. Alors les centres des cercles circonscrits des six triangles intérieurs ${\displaystyle AMB_{1}}$, ${\displaystyle B_{1}MC}$, ${\displaystyle CMA_{1}}$, ${\displaystyle A_{1}MB}$, ${\displaystyle BMC_{1}}$, et ${\displaystyle C_{1}MA}$ se situent sur un cercle commun^[6],[9].

Le théorème de van Lamoen correspond au cas particulier où ${\displaystyle A_{1}B_{1}C_{1}}$ est le triangle médian de ${\displaystyle ABC}$.

Voir également

• Cercle de Parry
• Cercle de Lester

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Van Lamoen circle » (voir la liste des auteurs).

1. (en) Clark Kimberling, « Encyclopedia of Triangle Centers » (consulté le 10 octobre 2014). Voir X(1153) = Center of the van Lemoen circle.
2. (en) Eric W. Weisstein, « van Lamoen circle », sur MathWorld
3. (en) Floor van Lamoen, « Problem 10830 », American Mathematical Monthly, vol. 107,‎ 2000, p. 893
4. (en) Kin Y. Li, « Concyclic problems », Mathematical Excalibur, vol. 6, n^o 1,‎ 2001, p. 1–2 (lire en ligne)
5. (en) Floor van Lamoen, « Solution to Problem 10830 », American Mathematical Monthly, vol. 109, n^o 4,‎ 2022, p. 396-397.
6. (en) Alexey Myakishev et Peter Y. Woo, « On the Circumcenters of Cevasix Configuration », Forum Geometricorum, vol. 3,‎ 2003, p. 57–63 (lire en ligne)
7. (en) N. M. Ha, « Another Proof of van Lamoen's Theorem and Its Converse », Forum Geometricorum, vol. 5,‎ 2005, p. 127–132 (lire en ligne)
8. (en) Clark Kimberling, « Triangle centers and central triangles », Congressus Numerantium, vol. 129,‎ 1998, p. 1–285
9. (en) Oai Thanh Dao, « A Synthetic proof of A. Myakishevus generalization on van Lamoen Circle theorem and an application », International Journal of Geometry, vol. 3, n^o 2,‎ 2014 (lire en ligne)