Cercle d'Adams

Cercle d'Adams d'un triangle

En géométrie, le cercle d'Adams d'un triangle plan est un cercle remarquable du triangle. Il est nommé d'après Carl Adams, qui a démontré son existence en 1843^[1].

Définition - démonstration

Pour un triangle ABC, on construit son triangle de Gergonne T_AT_BT_C. Alors les parallèles aux côtés du triangle de Gergonne et passant par le point de Gergonne intersectent les côtés de ABC en six points cocycliques ; ce cercle est le cercle d'Adams du triangle^[2],[3],[4].

Démonstration

Comme AT_B et AT_C sont les tangentes au cercle inscrit, on a AT_B = AT_C, et AT_BT_C est isocèle en A. Par construction, ${\displaystyle (T_{B}T_{C})//(QT)}$, donc les triangles AT_BT_C et AQT sont semblables, et AQT est également isocèle en A, dont on déduit T_BT = T_CQ. De même, T_CP = T_AS et T_AR = T_BU.

On trace la parallèle à (BC) passant par A intersecte (T_AT_B) en X et (T_AT_C) en Y. T_BAX est semblable à T_BCT_A, qui est isocèle. Donc T_BAX est isocèle en A et AX = AT_C. Cependant, comme, AT_B = AT_C, on en déduit que A est le milieu de XY. On étend les droites PS et RU jusqu'à (XY) ; on note les intersections M et N, respectivement. Les côtés des triangles T_AXY et G_eMN son parallèles, dont les deux triangles sont similaires et A est le milieu de MN. Par différence, on a :

${\displaystyle MX=AX-AM=AY-AN=NY.}$

De plus, MX = RT_A, car ce sont les côtés opposés du parallélogramme T_ARMX. De même, NY = ST_A. On tire des égalités précédentes :

${\displaystyle T_{A}R=T_{A}S.}$

On peut alors conclure.

Propriétés

Le rayon du cercle d'Adams est :

${\displaystyle R_{A}={\frac {r{\sqrt {q^{2}-abcs-qs^{2}}}}{q-s^{2}}},}$

avec r le rayon du cercle inscrit, s le demi-périmètre du triangle ABC et q = ab + bc + ca. Son centre est le centre du cercle inscrit de ABC^[5].

Le point de Lemoine du triangle formé par les droites (QR), (ST) et (PU) est le point de Gergonne de ABC et le cercle d'Adams de ABC est le premier cercle de Lemoine du deuxième triangle^[5].

Références

1. (de) Carl Adams, Die Lehre Von Den Transversalen in Ihrer Anwendung Auf Die Planimetrie : Eine Erweiterung Der Euklidischen Geometrie, Witherthur, ALlemagne, Steiner, 1843.
2. (en) « Adams' Circle », sur cut-the-knot.org
3. (en) J. S. Mackay, « Symmedians of a Triangle and their Concomitant Circles. », Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, vol. 14,‎ 1896, p. 37-103 (lire en ligne).
4. (en) JS. Mackay, « Adams’s Hexagons and Circles », Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, vol. 11,‎ 1892, p. 104-106 (DOI 10.1017/S0013091500031278)
5. (en) Ross Honsberger, Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, Washington, DC, Math. Assoc. Amer., 1995, 62-64, 98 (lire en ligne), « A Real Gem », p. 7.4 (v).

• (en) Clark Kimberling, « Triangle Centers and Central Triangles », Congress Numericorum, vol. 129,‎ 1998, p. 1-295.

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Adams' Circle », sur MathWorld