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Elias est né à Francfort-sur-le-Main en Allemagne en 1925. Son père, Erich Elias, est devenu le directeur de la maison Opekta de Bâle en 1929. En 1947 il s’est joint à Holiday on Ice (spectacle sur glace) avec qui il est resté plus de dix ans. Il a fait du théâtre en Suisse, Grande-Bretagne, France et Allemagne. Au milieu des années 1970, il est apparu dans des films et à la télévision, principalement dans des productions sur le thème de l'Holocauste.
Elias était le cousin germain et le dernier parent proche, aux côtés de ses deux fils survivants, de la chroniqueuse sur l'Holocauste Anne Frank, morte au camp de concentration de Bergen-Belsen en mars 1945. Il était le président de la Fondation Anne-Frank, située à Bâle, qui gère les droits du Journal d'Anne Frank, qui jusqu'à sa mort en 1980 avait été présidé par son père, Otto Frank.
Buddy Elias a vécu à Bâle avec sa femme Gerti Elias (née Wiedner), où il est mort le 16 mars 2015[1]. Ils avaient deux fils, Patrick et Oliver, qui sont aussi acteurs.
