Brique d'Euler parfaite

Brique parfaite d’Euler avec diagonale principale g.

Une brique d’Euler parfaite (du nom du mathématicien Leonhard Euler) est un parallélépipède rectangle dont les côtés, les diagonales des faces et la diagonale principale qui joint deux sommets opposés ont toutes des longueurs entières.

Aucun exemple de brique parfaite n’est connu en 2021, et personne n'a réussi à prouver qu'il n'en existait pas. Les recherches par ordinateur ont cependant montré que, si une brique parfaite d'Euler existe, l'un de ses côtés doit avoir une valeur d'au moins mille milliards^[1],[2].

Formulation arithmétique

Les dimensions d'une brique parfaite d'Euler correspondent à une solution au système d'équations diophantiennes :

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}a^{2}+b^{2}=d^{2}\\a^{2}+c^{2}=e^{2}\\b^{2}+c^{2}=f^{2}\\a^{2}+b^{2}+c^{2}=g^{2}.\end{array}}\right.}$

Briques quasi-parfaites

Euler a découvert une brique dont les longueurs ${\displaystyle (a,b,c,d,e,f,g)=(104,153,672,185,680,3{\sqrt {52777}},697)}$ sont entières, sauf la diagonale faciale f ^[3]. Plusieurs autres du même type ont été trouvées depuis ^[4].

Existence d'un parallélépipède parfait

En 2009, deux mathématiciens américains ont découvert un parallélépipède non rectangle dont les arêtes, les diagonales des faces, et les diagonales internes ont toutes des longueurs entières ^[5].

Les arêtes sont de longueurs 271,106, et 103; les diagonales des faces sont de longueurs 255, 223, 312, 266, 183, 101 ; les diagonales internes sont de longueurs 272, 278, 300, et 374^[6].

En 2009, Barry Cipra^[7] a trouvé un parallélépipède du même type dont deux faces sur trois sont rectangulaires. Les arêtes sont de longueurs 1 120, 1 035, et 840^[6].

Notes et références

1. (en) Bill Durango, The “Integer Brick” Problem.
2. (en) « Perfect Cuboid », sur Mathworld (consulté le 14 juillet 2010).
3. (de) Leonhard Euler, Vollständige Anleitung zur Algebra, II : Fragmenta commentationis cuiusdam maioris, de invenienda relatione enter latera triangulorum, quorum area rationaliter exprimi possit, St. Petersburg, Kayserliche Akademie der Wissenschaften, 1771 (lire en ligne)
4. (en) Randall L. Rathbun, « The Integer Cuboid Table », arXiv.org,‎ 2018 (lire en ligne)
5. (en) Jorge F. Sawyer et Clifford A. Reiter, « Perfect Parallelepipeds Exist », arXiv.org,‎ 15 décembre 2009 (lire en ligne)
6. Jean-Jacques Dupas, Les parallélépipèdes parfaits in Mathématiques discrètes et Combinatoire, Éditions Pole, 2010, p. 101
7. (en) Barry Cipra, « Perfection in a box », Science, vol. 327,‎ 19 février 2010, p. 942-943 (lire en ligne)

Voir aussi

• Triplet pythagoricien
• Brique d'Euler