Actif dans les courses FIS en 1996, il se place notamment douzième du slalom géant aux Championnats du monde junior 1998 à Megève.
Il fait ses débuts dans la Coupe du monde en février 2000 au slalom géant de Todtnau, avant de prendre part à son premier championnat du monde en 2001 à Sankt Anton. Il parvient à obtenir deux résultats aux Championnats du monde sur le slalom : en 2003 à Saint-Moritz, il est 35e et en 2005 à Bormio, il est 28e. À partir de la saison 2004-2005, où il obtient une cinquième place en Coupe d'Europe en slalom indoor, Björgvinsson court de manière régulière dans la Coupe du monde, résultant avec de multiples abandons notamment, avant de se qualifier pour sa première seconde manche en janvier 2009, à Zagreb, où il se classe finalement 25e du slalom. Un an plus tard jour pour jour, il revient en deuxième manche au même lieu, pour améliorer d'une place se classement.
Il est le porte-drapeau de l'Islande lors de la cérémonie d'ouverture des Jeux olympiques d'hiver de 2010[1]. Lors de ces jeux, il finit 43e du slalom géant, discipline dans laquelle il rallie pour la première fois l'arrivée en grand championnat.