Axiome de séparation (topologie)

En topologie, un axiome de séparation est une propriété satisfaite par certains espaces topologiques, similaire à la propriété de séparation de Hausdorff (dite aussi T₂), et concernant la séparation de points ou de fermés, du point de vue soit de voisinages, soit de fonctions continues réelles.

Divers axiomes de séparation peuvent être ordonnés par implication, notamment ceux de la série des axiomes codés par la lettre « T »^[1] et un indice numérique, ces axiomes étant en général^[2] d'autant plus restrictifs que les indices sont élevés et les topologies correspondantes plus fines.

Attention : dans la littérature, le vocabulaire est parfois très volatil et certaines de ces définitions peuvent être interchangées.

Liste d'axiomes

La séparation T₀ (espace de Kolmogorov)

On dit qu'un espace topologique X est de Kolmogorov, ou vérifie la propriété T₀, si pour deux points distincts quelconques de X, l'un (au moins) des deux points admet un voisinage qui ne contient pas l'autre point. Ou encore, l'un des deux points n'est pas adhérent à l'autre.

La séparation T₁ (espace accessible, ou de Fréchet)

Un espace T₁ est un espace topologique dont les singletons sont fermés. Ceci équivaut à : pour tout point x, l'intersection des voisinages de x est réduite au singleton {x}. Ou encore, pour deux points distincts quelconques, chacun des deux points admet un voisinage qui ne contient pas l'autre point. Ou encore, aucun des deux points n'est adhérent à l'autre.

Un espace est T₁ si et seulement s'il est à la fois T₀ et R₀.

Espaces à unique limite séquentielle

Un « espace à unique limite séquentielle » (traduction libre du nom en anglais sous lequel cette notion est plus connue : space with unique sequential limit ou US-space) est un espace X dans lequel chaque suite convergente n'a qu'une limite, ou encore, tel que la diagonale est séquentiellement fermée dans X×X.

Tout espace à unique limite séquentielle est T₁ mais la réciproque est fausse^[3].

Démonstration

Soit X un espace à unique limite séquentielle. Alors, pour tous points distincts x et y de X, la suite constante de valeur x ne converge pas vers y donc il existe un voisinage de y qui ne contient pas x, ce qui prouve que X est T₁.

La topologie cofinie sur un ensemble infini est un espace T₁ dans lequel les suites injectives convergent vers tout point de X^[4].

La « droite à deux origines » est un autre exemple^[4]. Cet espace est le quotient de ℝ×{0, 1} par : pour tout réel x non nul, (x, 0) est identifié à (x, 1). Il est seulement localement séparé.

Espaces faiblement séparés

Un espace topologique X est faiblement séparé, ou faiblement Hausdorff, ou t₂^[5] lorsque pour tout espace compact K et toute application continue f de K dans X, l'image de K par f est fermée dans X.

Tout espace faiblement séparé est T₁ (mais pas nécessairement à unique limite séquentielle^[6]). Pour montrer que tout singleton est fermé, il suffit en effet de considérer un compact K non vide et l'application f constante de K dans ce singleton.

Espaces KC

Un espace KC est un espace dans lequel tout quasi-compact est fermé^[7] (une notion voisine est celle d'espace compactement engendré).

Tout espace KC est faiblement séparé. En effet, l'image d'un compact par une application continue est quasi-compacte.

Tout espace KC est à unique limite séquentielle mais la réciproque est fausse^[3].

Démonstration

Soit X un espace KC. Ayant remarqué que X est T₁ (tout singleton est fermé), montrons que si une suite (x_n) converge vers x et y, alors x = y. Si la suite prend une infinité de fois la valeur y, cette égalité est immédiate (dans un espace T₁, une suite constante n'a qu'une limite). Sinon, soit A l'ensemble des x_n distincts de y. Alors A ∪ {x} est quasi-compact donc fermé dans X donc il contient y (puisque son complémentaire est ouvert et que x_n → y) donc y = x.

Soit X l'espace d'Arens-Fort, qui est séparé et dans lequel les compacts sont les parties finies, et soit X⁺ son extension d'Alexandrov (qui est quasi-compacte, mais non séparée puisque X n'est pas localement compact). Alors X⁺ est un espace à unique limite séquentielle dans lequel X⁺\{(0,0)} est un quasi-compact non fermé^[8].

Cependant, dans un espace séquentiel à unique limite séquentielle, toute partie dénombrablement compacte est fermée^[9], donc l'espace est KC.

Sur un espace donné, une topologie quasi-compacte est maximale pour cette propriété si et seulement si elle est KC et une topologie KC est minimale pour cette propriété si et seulement si elle est quasi-compacte, si bien que les topologies quasi-compactes maximales et KC minimales sont les mêmes^[3],[10].

La séparation T₂ (espace de Hausdorff)

C'est la propriété classique. Un espace topologique est dit T₂, ou de Hausdorff, ou espace séparé, si pour tout couple (x,y) d'éléments distincts de X, il existe deux ouverts disjoints dont l'un contient x et l'autre contient y. Ceci équivaut à : pour tout point x, l'intersection des voisinages fermés de x est réduite au singleton {x}, ou encore à : la diagonale est fermée dans X×X.

La séparation T₂ entraîne la séparation KC (c'est le théorème classique selon lequel tout compact d'un séparé est fermé).

La réciproque est fausse, mais un espace à bases dénombrables de voisinages est séparé dès qu'il est à unique limite séquentielle^[3].

Démonstration

L'extension d'Alexandrov de ℚ (qui est quasi-compacte) n'est pas séparée puisque ℚ n'est pas localement compact, mais c'est un espace KC. Un autre exemple est la topologie codénombrable sur ℝ^[11].

Soit X un espace à base dénombrable de voisinages et à unique limite séquentielle, alors la diagonale est séquentiellement fermée dans X×X. Comme ce produit est séquentiel (car encore à base dénombrable de voisinages), la diagonale est par conséquent fermée, donc X est séparé.

La topologie de Zariski sur une variété algébrique est T₁ mais en général non séparée.

La séparation T_{2 1/2} (espace complètement de Hausdorff)

Un espace topologique est un espace T_{2 1/2} lorsque deux points distincts admettent des voisinages dont les adhérences sont disjointes. Ou encore, deux points distincts admettent des voisinages fermés disjoints.

Un espace T₂ qui n'est pas T_{2 1/2}.

Tout espace T_{2 1/2} est séparé mais la réciproque est fausse, comme le montre l'exemple suivant^[12]. On considère l'ensemble E du plan constitué de l'intérieur du disque de centre O de rayon 1 et des deux points (1, 0) et (–1, 0). Une base de voisinages d'un point intérieur au disque est formée des disques centrés en ce point. Une base de voisinages du point (1, 0) est constituée des réunions de ce point et d'une bande semi-circulaire (ouverte au sens usuel) adjacente à ce point et limitée par des segments [(0, 1), (0, 1 – h)] et [(0, –1), (0, –1 + h)]. De même pour (–1, 0). Dans le dessin ci-contre, on a représenté en couleur un voisinage d'un point intérieur au disque, et un voisinage de chacun des points (1, 0) et (–1, 0). Si ces deux derniers voisinages sont ouverts, ils sont disjoints, mais leurs adhérences s'intersectent selon une partie des segments communs qui les limitent. L'espace E est donc séparé mais pas T_{2 1/2}.

La séparation T_{2 3/4} (espace d'Urysohn)

Un espace topologique X est appelé espace d'Urysohn lorsque pour tous points distincts x et y de X, il existe une fonction continue f de X dans le segment [0, 1] telle que f(x) = 0 et f(y) = 1. Un espace d'Urysohn est T_{2 1/2}.

Un espace est d'Urysohn si et seulement si l'application canonique vers son compactifié de Stone-Čech est injective.

Séparation T₃ et espaces réguliers

Un espace topologique X vérifie T₃ lorsque pour tout point x de X et pour tout fermé F de X ne contenant pas x, il existe deux ouverts disjoints dont l'un contient x et l'autre contient F.

Tout espace vérifiant T₃ et T₀ est séparé. Un tel espace est dit régulier. Il vérifie T_{2 1/2}, mais pas toujours T_{2 3/4}^[13]. Inversement, la K-topologie sur ℝ vérifie T_{2 3/4} mais pas T₃.

Séparation T_{3 1/2} et espaces complètement réguliers (ou de Tychonov)

Un espace topologique X vérifie T_{3 1/2} si pour tout point x de X et pour tout fermé F de X ne contenant pas x, il existe une fonction continue de X dans le segment [0, 1] valant 0 en x et 1 sur F. Ceci équivaut à : X est uniformisable^[14].

Tout espace vérifiant T_{3 1/2} et T₀ est séparé. Un tel espace est qualifié de complètement régulier (on dit aussi : espace de Tychonov). Un espace complètement régulier est donc non seulement régulier mais aussi d'Urysohn.

Un espace est complètement régulier si et seulement s'il se plonge dans un espace compact.

Séparation T₄ et espaces normaux

Un espace topologique X vérifie T₄ lorsque pour tout couple de fermés disjoints E et F, il existe un couple d'ouverts disjoints dont l'un contient E et l'autre contient F.

Cet axiome n'est pas préservé par passage aux sous-espaces ni par passage aux produits (cependant, tout sous-espace fermé d'un espace T₄ est T₄).

Il n'implique aucun des précédents. En particulier, un espace peut vérifier T₄ sans être séparé : la topologie grossière vérifie T₄. Par contre, si un espace vérifie T₄ et T₁ alors il est séparé.

Un espace séparé vérifiant T₄ est dit normal.

Si X vérifie T₄, pour tout couple de fermés disjoints E et F, il existe une fonction continue de X dans le segment [0, 1] valant 0 sur E et 1 sur F. Cette propriété remarquable s'appelle le lemme d'Urysohn. Plus généralement, le théorème de prolongement de Tietze assure que toute fonction continue d'un fermé de X dans ℝ s'étend continûment à X.

En particulier, tout espace normal est complètement régulier.

Tout espace paracompact (en particulier tout compact) est normal.

Séparation T₅ et espaces complètement normaux

Un espace topologique X vérifie T₅ si pour toutes parties A et B de X telles que A ∩ B = ∅ et B ∩ A = ∅, il existe deux ouverts disjoints dont l'un contient A et l'autre contient B.

Cela équivaut à : tout sous-espace de X vérifie T₄, et il suffit pour cela que les sous-espaces ouverts de X vérifient T₄.

Démonstration

• Soient X vérifiant T₅ et Y un sous-espace de X. Alors Y vérifie T₅ (donc T₄). En effet, pour toutes parties A et B de Y, l'adhérence de B dans le sous-espace Y (muni de sa topologie induite) est égale à B ∩ Y, donc si elle est disjointe de A alors A ∩ B = ∅ (et de même en échangeant les rôles de A et B). Par hypothèse sur X, deux telles parties A et B sont donc séparées par deux ouverts de X disjoints. Les traces sur Y de ces deux ouverts sont alors deux ouverts de Y disjoints qui séparent A et B.
• Dans un espace X dont tous les sous-espaces ouverts vérifient T₄, soient A et B deux parties telles que A ∩ B = ∅ et B ∩ A = ∅. On pose Y = X\(A∩B). Il vient A ⊂ A ∩ Y et B ⊂ B ∩ Y. Dans le sous-espace ouvert Y (muni de sa topologie induite), A ∩ Y et B ∩ Y, fermés disjoints, sont séparés par deux ouverts de Y, qui séparent a fortiori A et B et qui (puisque Y est un ouvert de X) sont aussi des ouverts de X. Par conséquent, X vérifie T₅.

Un espace séparé vérifiant T₅ est dit complètement normal.

Un espace est donc complètement normal si et seulement si tous ses sous-espaces sont normaux.

Tout ensemble totalement ordonné muni de la topologie de l'ordre — par exemple tout espace topologique associé à un ordinal — est complètement normal.

La planche de Tychonov [0, ω₁]×[0, ω], produit de deux espaces complètement normaux, est un compact non complètement normal.

La séparation T_{5 1/2} (espace parfaitement normal)

Un espace séparé X est dit parfaitement normal si tout fermé de X est le lieu d'annulation d'une application continue f de X dans ℝ.

Tout espace métrisable est parfaitement normal (prendre pour f la fonction distance au fermé).

Tout sous-espace d'un espace parfaitement normal est encore parfaitement normal.

Un espace parfaitement normal est normal (et par suite complètement normal, d'après la stabilité précédente pour les sous-espaces). Mieux : pour tous fermés disjoints E et F d'un tel espace X, e et f étant des fonctions continues qui s'annulent exactement sur ces fermés, la fonction ${\displaystyle {\frac {|e|}{|e|+|f|}}:X\to [0,1]}$ est continue, et vaut 0 exactement sur E et 1 exactement sur F.

Tout espace parfaitement normal est un espace G_δ (en)^[15], c'est-à-dire dans lequel tout fermé est un sous-ensemble G_δ (une intersection dénombrable d'ouverts), en l'occurrence ${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{+\infty }f^{-1}\left(\,\left]-1/n,1/n\right[\,\right)}$ mais la réciproque est fausse : la K-topologie est un espace G_δ qui n'est pas parfaitement normal ni même normal.

La définition originelle (due à Čech et équivalente)^[16] est : un espace est parfaitement normal si c'est un espace G_δ normal.

Un exemple d'espace complètement normal mais non parfaitement normal est [0, ω₁] (muni de la topologie de l'ordre), où ω₁ désigne le premier ordinal non dénombrable.

Notes et références

1. Cette lettre, initiale du mot allemand Trennungsaxiom (« axiome de séparation »), a été introduite par Pavel Aleksandrov et Heinz Hopf dans leur traité Topologie de 1935 (p. 58 et suivantes), où ils présentaient une liste de tels axiomes (cf (en) Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics, par Jeff Miller).
2. Plus précisément, on a ici les implications suivantes (et celles qui s'en déduisent immédiatement) : ${\displaystyle T_{5\;1/2}\Rightarrow T_{5}\Rightarrow T_{4},\quad T_{4}\land T_{1}\Rightarrow T_{3\;1/2},\quad T_{3\;1/2}\Rightarrow T_{3},}$${\displaystyle T_{3\;1/2}\land T_{0}\Rightarrow T_{2\;3/4},\quad T_{3}\land T_{0}\Rightarrow T_{2\;1/2},}$ ${\displaystyle T_{2\;3/4}\Rightarrow T_{2\;1/2}\Rightarrow T_{2}\Rightarrow KC\Rightarrow US\land t_{2},\quad US\lor t_{2}\Rightarrow T_{1}\Rightarrow T_{0}.}$
3. (en) Hans-Peter A. Künzi et Dominic van der Zypen, « Maximal (sequentially) compact topologies », dans Werner Gähler et Gerhard Preuß, Categorical Structures and Their Applications, World Scientific, 2004 (ISBN 978-9-81256053-7, lire en ligne), p. 173-187, arXiv:math/0306082.
4. (en) « Unique limits in T₁ spaces », sur math.stackexchange.com.
5. Voir l'article Espace compactement engendré.
6. (en) Francisco G. Arenas, Julian Dontchev et Maria Luz Puertas, « Unification approach to the separation axioms between T₀ and completely Hausdorff », oct. 1998, arXiv:math/9810074, p. 5, Example 2.2.
7. (en) Mangesh G. Murdeshwar, General Topology, New Age, 1990, 2^e éd., 357 p. (ISBN 978-81-224-0246-9, lire en ligne), p. 162.
8. Exemple trouvé dans (en) Julian Dontchev, Maximilian Ganster et Laszlo Zsilinszky, « Extremally T₁-spaces and Related Spaces », arXiv,‎ 1998 (lire en ligne). Voir aussi
   • (en) « A space in which sequences have unique limits but compact sets need not be closed » sur MathOverflow,
   • (en) Helen F. Cullen, « Unique sequential limits », Bollettino dell'Unione Matematica Italiana, vol. 20, n^o 1,‎ 1965, p. 123-124 (lire en ligne) et
   • (en) Jakub Opršal, Minimal KC-spaces, Univerzita Karlova v Praze, 2009 (lire en ligne).
9. (en) S. P. Franklin, « Spaces in Which Sequences Suffice II », Fund. Math., vol. 61,‎ 1967, p. 51-56 (lire en ligne), Proposition 5.4.
10. Dontchev, Ganster et Zsilinszky 1998 et Opršal 2009.
11. Exemples trouvés dans (en) « Example of a weak Hausdorff space that is not Hausdorff? », sur MathOverflow, qui donne plus de détails et fournit un troisième exemple. Voir aussi (en) Paul Fabel, « On low dimensional KC-spaces », arXiv,‎ 2011 (lire en ligne).
12. (en) Lynn Arthur Steen et J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology, Dover, 1995 (1^re éd. Springer, 1978), 244 p. (ISBN 978-0-486-68735-3, présentation en ligne), p. 82, 92 donnent trois autres exemples : Counterexample 60 (Relatively Prime Integer Topology), Counterexample 61 (Prime Integer Topology) — deux topologies sur ℕ*, moins fines que la restriction à ℕ* de la topologie des entiers uniformément espacés : on prend comme base d'ouverts les a ℕ* + b avec a et b premiers entre eux (resp. a premier) ; le premier de ces deux exemples est détaillé dans (en) « Hausdorff space not completely Hausdorff », sur PlanetMath — et Counterexample 74 (Double Origin Topology (en)).
13. Steen et Seebach 1995, Counterexamples 90 (Tychonoff corkscrew), 92 (Hewitt's condensed corkscrew), 94 (Thomas's corkscrew).
14. François Guénard et Gilbert Lelièvre, Compléments d'analyse, Vol. 1 : Topologie, première partie, ENS Fontenay éd., 1985 (lire en ligne), p. 35.
15. Steen et Seebach 1995, p. 162.
16. N. Vedenissoff, « Généralisation de quelques théorèmes sur la dimension », Compositio Mathematica, vol. 7,‎ 1940, p. 194-200 (lire en ligne).

Voir aussi

Articles connexes

• Histoire des axiomes de séparation (en)
• Ensembles séparés (en)

Bibliographie

• (en) Mickael Henle, A Combinatorial Introduction to Topology, Dover, 1994, 310 p. (ISBN 978-0-486-67966-2, présentation en ligne)
• (en) James Munkres, Topology, Prentice Hall, 2000, 2^e éd. (lire en ligne), chap. 4
• (en) Stephen Willard, General Topology, Dover, 2012 (1^re éd. 1970), 384 p. (ISBN 978-0-486-13178-8, présentation en ligne)

Lien externe

(en) Karl H. Hofmann, « The low separation axioms (T₀) and (T₁) », sur Université technique de Darmstadt, 2001