Autocovariance

La fonction d'autocovariance d'un processus stochastique ${\displaystyle X=\{X_{t},t\in \mathbb {N} \}}$ permet de caractériser les dépendances linéaires existant au sein de ce processus^[1].

Définition — Si le processus ${\displaystyle X}$ est à valeurs dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$ et admet une variance ${\displaystyle \operatorname {V} (X_{t})}$ pour n'importe quel ${\displaystyle t\in \mathbb {N} }$, on définit la fonction d'autocovariance de ${\displaystyle X}$ par la fonction notée ${\displaystyle R}$ qui à tout couple d'entiers naturels ${\displaystyle (t,s)}$ associe le nombre noté ${\displaystyle R(t,s)}$ et défini par ${\displaystyle R(t,s)\equiv \operatorname {Cov} (X_{t},X_{s})=\operatorname {E} \left[(X_{t}-\mu _{t})(X_{s}-\mu _{s})\right]}$, où ${\displaystyle \mu _{t}=\operatorname {E} (X_{t})}$

Si ${\displaystyle X}$ est un processus stationnaire au sens faible alors ${\displaystyle \mu _{t}=\mu _{s}}$ et ${\displaystyle \operatorname {Cov} (X_{t},X_{s})=\operatorname {Cov} (X_{t+k},X_{s+k})}$ pour n'importe quels entiers naturels ${\displaystyle t,s,k}$. Dans ce cas ${\displaystyle R(t,s)=R(|t-s|,0)}$ et il suffit alors de définir les autocovariances par la fonction qui à tout ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ associe ${\displaystyle \gamma (k)\equiv R(k,0)=\operatorname {Cov} (X_{k},X_{0})}$. La fonction d'autocovariance apparaît alors comme la covariance de ce processus avec une version décalée de lui-même. On appelle ${\displaystyle \gamma (k)}$ l'autocovariance d'ordre ${\displaystyle k}$^[2].

Propriété — Si ${\displaystyle X}$ est stationnaire au sens faible, ${\displaystyle \gamma (-k)=\gamma (k)}$

Cette propriété résulte directement du fait que ${\displaystyle \gamma (k)=R(|k|,0)=R(|-k|,0)=\gamma (-k)}$. Voir pour cette propriété Hamilton (1994, p. 46).

Notes

1. On utilise aussi pour cela la fonction d'autocorrélation
2. Voir par exemple Hamilton (1994) et Maddala et Kim (1998)

Références

• (en) William H. Greene, Econométrie, Paris, Pearson Education, 2005, 5^e éd., 943 p. (ISBN 978-2-7440-7097-6), p. 2
• (en) James Douglas Hamilton, Time Series Analysis, Princeton N.J, Princeton University Press, 1994, 799 p. (ISBN 978-0-691-04289-3, LCCN 93004958), p. 799
• (en) Gangadharrao Soundaryarao Maddala, Unit Roots, Cointegration and Structural Change, Cambridge, Cambridge University Press, 2003, 5^e éd., relié (ISBN 978-0-521-58257-5, LCCN 98017325), p. 505

Voir aussi

• Bruit blanc
• Processus stationnaire
• Stationnarité d'une série temporelle