Application sous-linéaire

Illustration de la fonction ${\displaystyle \displaystyle f(x)={\begin{cases}{\tfrac {4}{3}}\,x&{\textrm {si}}\ x\geq 0\\{\tfrac {1}{2}}\,x&{\textrm {si}}\ x<0\end{cases}}}$

Soit ${\displaystyle V}$ un espace vectoriel sur ℝ. On dit qu'une application ${\displaystyle s\,\colon \,V\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$ est sous-linéaire^[1] lorsque :

• pour tous vecteurs ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$ de ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle s(x+y)\leq s(x)+s(y)}$ (on dit que ${\displaystyle s}$ est sous-additive),
• pour tout vecteur ${\displaystyle x}$ et tout ${\displaystyle \lambda \geq 0}$, ${\displaystyle s(\lambda x)=\lambda \,s(x)}$^[2] (on dit que ${\displaystyle s}$ est positivement homogène^[3]).

Une application sous-linéaire est aussi dénommée pseudo-jauge en analyse fonctionnelle.

Les applications sous-linéaires sont convexes.

Comme exemples d'applications sous-linéaires, citons les semi-normes ou, plus généralement, toute jauge d'un convexe contenant l'origine. Une jauge est une pseudo-jauge à valeurs positives.

Notes et références

1. Cf. (en) Eric Schechter, Handbook of Analysis and Its Foundations, Academic Press, 1997 (lire en ligne), p. 313-314. Dans le cas particulier ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}$, on trouve une définition équivalente dans (en) Jean-Baptiste Hiriart-Urruty et Claude Lemaréchal, Fundamentals of Convex Analysis, Springer, coll. « Grundlehren Text Editions », 2004 (1^re éd. 2001) (ISBN 978-3-540-42205-1), p. 124 et dans (en) Jean-Baptiste Hiriart-Urruty et Claude Lemaréchal, Convex Analysis and Minimization Algorithms I: Fundamentals, Springer, coll. « Grundlehren Text Editions », 1993 (ISBN 3-540-56850-6), p. 198.
2. Pour ${\displaystyle \lambda =0}$ (avec la convention ${\displaystyle 0\times \infty =0}$), cette condition implique ${\displaystyle s(0)=0}$.
3. Ou « positivement homogène de degré 1 ».