Anneau d'ensembles

Un anneau d'ensembles, ou clan, est une classe non vide de parties d'un ensemble X vérifiant deux propriétés de stabilité. Le concept, très voisin de celui d'algèbre d'ensembles, est utilisé en théorie de la mesure pour initialiser les constructions de mesures classiques qu'on étendra ensuite à la tribu engendrée par l'anneau. Vus comme parties de l'anneau de Boole de toutes les parties de X (considéré comme un pseudo-anneau), ils en sont les sous-anneaux (non nécessairement unitaires).

Définition

Définition^[1] — Un anneau d'ensembles est un ensemble ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ de parties d'un ensemble ${\displaystyle X}$ qui vérifie :

1. ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ n'est pas vide ;
2. ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ est stable par différence ensembliste ;
3. ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ est stable par union (finie).

Une minorité de sources exigent également que ${\displaystyle X}$ ne soit pas vide^[2] ; cette hypothèse supplémentaire n'est nulle part utilisée dans le présent article.

Propriétés élémentaires

Soit ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ un anneau d'ensembles. Alors :

• l'ensemble vide appartient à ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ (l'écrire ${\displaystyle A\setminus A}$ pour un élément ${\displaystyle A}$ de l'ensemble non vide ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$) ;
• ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ est stable par différence symétrique (on peut en effet écrire ${\displaystyle A\Delta B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)}$) ;
• ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ est stable par intersection (on peut en effet écrire ${\displaystyle A\cap B=(A\cup B)\setminus (A\Delta B)}$) ;

Toute algèbre d'ensembles est un anneau d'ensembles (on peut en effet écrire ${\displaystyle A\setminus B={}^{c}({}^{c}A\cup B)}$, où l'on note ${\displaystyle {}^{c}E}$ le complémentaire d'une partie ${\displaystyle E}$). Il existe en revanche des anneaux d'ensembles qui ne sont pas des algèbres d'ensembles, l'exemple le plus simple étant celui de ${\displaystyle \{\varnothing \}}$.

Un anneau d'ensembles sur ${\displaystyle X}$ est une algèbre d'ensembles si et seulement si ${\displaystyle X}$ appartient à l'anneau.

Utilisations en théorie de la mesure

Dans la généralisation de la construction de la mesure de Lebesgue que synthétise le théorème d'extension de Carathéodory, une mesure est construite sur une σ-algèbre par un procédé d'extension relativement sophistiqué, mais dont la première étape est assez simple : on construit d'abord les valeurs de la mesure sur les éléments d'un anneau d'ensembles ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$. La construction peut avoir été initiée sur un semi-anneau d'ensembles qui engendre lui-même ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ (comme anneau d'ensembles).

Dans l'exemple de la mesure de Lebesgue sur la droite réelle, le semi-anneau qui initie la construction peut être l'ensemble des intervalles bornés de ${\displaystyle \mathbb {R} }$, et l'anneau est alors l'ensemble des réunions finies d'intervalles bornés.

Il existe des variantes de cette construction qui font intervenir des variantes de la notion de σ-algèbre : on appelle dans cette optique σ-anneau un anneau stable par réunion dénombrable et δ-anneau un anneau stable par intersection dénombrable.

Anneaux d'ensembles et algèbre de Boole (structure)

On peut donner la définition des anneaux d'ensembles sous une forme alternative :

Définition équivalente — Un ensemble ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ de parties d'un ensemble ${\displaystyle X}$ est un anneau d'ensembles lorsque :

1. ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ n'est pas vide
2. ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ est stable par différence symétrique
3. ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ est stable par intersection (finie).

Les remarques faites plus haut ont montré que la définition initiale entraînait cette caractérisation. Réciproquement, si ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ vérifie les trois hypothèses qui précèdent, il est stable par différence ensembliste (puisque ${\displaystyle A\setminus B=A\Delta (A\cap B)}$) et par réunion (puisque ${\displaystyle A\cup B=(A\Delta B)\Delta (A\cap B)}$) et est donc un anneau d'ensembles.

On rappelle que l'algèbre de Boole de toutes les parties de l'ensemble ${\displaystyle X}$ est munie d'une structure d'anneau de Boole, l'addition étant la différence symétrique (de neutre ${\displaystyle \varnothing }$) et la multiplication étant l'intersection (de neutre ${\displaystyle X}$). Pour cette structure, les anneaux de parties sont donc les sous-groupes additifs stables par la multiplication : ce sont donc les sous-structures pour la structure de pseudo-anneau. Quant aux algèbres de parties, ce sont, pour leur part, les sous-groupes additifs stables pour la multiplication et contenant le neutre de celle-ci : ce sont donc les sous-structures pour la structure d'anneau unitaire^[3].

Références

1. (en) Paul Halmos, Measure Theory, Van Nostrand, 1950, p. 19, parmi d'innombrables sources possibles.
2. (en) Adriaan Cornelis Zaanen (en), Integration, North Holland, 1967, 2^e éd., p. 26 ou (en) Ole A. Nielsen, An Introduction to Integration and Measure Theory, Wiley-interscience, 1997, 496 p. (ISBN 978-0-471-59518-2), p. 125.
3. La relation entre les anneaux d'ensembles et la structure d'anneau de Boole est exposée dans Halmos 1950, p. 21-22.