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Né à Banja Luka en Yougoslavie (aujourd'hui capitale de l'entité de la République serbe de Bosnie en Bosnie-Herzégovine) d'un père serbe et d'une mère macédonienne, il rejoint la France, déjà, où son père, Boro Golić, est entraineur de Bordeaux. Mais l'expérience tourne court, notamment à cause de la barrière de la langue, et six mois plus tard, Andrej retourne seul au pays[3] où il fait le bonheur du RK Borac Banja Luka avec qui il remporte la Coupe de l'IHF[5]. Mais la ville comme l'ensemble de la Yougoslavie étant en proie à de graves résurgences nationalistes, il doit quitter en 1991 son club et il rejoint alors la France pour retrouver son père, alors entraîneur à Nîmes. Ce départ, qu'il pense temporaire, sera finalement définitif.
Après avoir obtenu sa naturalisation[6] le 28 avril 1998[7], il joue pour l'équipe de France à 149 reprises, marquant 368 buts[2]. Lors de sa première grande compétition, au championnat du monde 1999, il affronte l'Équipe de république fédérale de Yougoslavie[3] et vit alors une drôle d'expérience. Il entend d'abord l'hymne yougoslave dont il connaît les paroles et la musique, mais le pays où il est né n'existe plus. Puis la Marseillaise : il connaît la musique, mais il a du mal avec les paroles de l'hymne du pays qu'il s'est choisi. La France devra se contenter de la 6e place alors que la RF Yougoslavie, qu'a rejointe son cousin Nebojša Golić pour suppléer un joueur blessé, remporte la médaille de bronze.
Puis il participe à la campagne victorieuse en 2001 lors du championnat du monde se déroulant en France. Il obtient une nouvelle médaille avec la médaille de bronze en 2003.
Peu utilisé par son club de Montpellier lors de la saison 2005-2006, il décide de signer pour la saison suivante avec le club croate du RK Zagreb. À la suite d'une nouvelle blessure au genou, il met un terme à sa carrière en [2].
Depuis sa retraite sportive, il est devenu agent de joueurs en créant sa propre agence, Golić Management.