En 2013, Anatoliy Budyak se classe troisième d'une étape de la Course de la Paix juniors (moins de 19 ans). Il intègre ensuite l'équipe ukrainienne ISD Continental en 2014 pour ses débuts espoirs (moins de 23 ans).
Lors de la saison 2015, il se distingue en terminant notamment quatorzième du Tour de l'Avenir, sous les couleurs de son pays. Il fait cependant l'objet d'un contrôle positif au mesocarb(en), une substance interdite[1],[2]. L'UCI le suspend pour une durée de dix-huit mois, jusqu'au [2]. Il fait rapidement son retour à la compétition chez ISD-Jorbi Continental en se classant quatrième du Tour de Mersin ou cinquième du championnat d'Ukraine sur route.
En 2018, il rejoint la nouvelle équipe continentale ukrainienne Lviv, avec laquelle il obtient diverses places d'honneur. Il court également durant l'été au sein du club ULB Sports-Natural Greatness, avec de bonnes performances dans le calendrier amateur espagnol. L'année suivante, il est recruté par la formation polonaise Wibatech Merx 7R.
