Action (physique)

Action

Sur toutes les trajectoires futures envisageables, celle suivie par le système est celle pour laquelle l'action est extrémale (c'est-à-dire minimale ou maximale).

Données clés

Unités SI	joule seconde
Dimension	M·L^2·T^−1
Nature	Grandeur scalaire extensive
Symbole usuel	${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

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L’action est une grandeur fondamentale de la physique théorique, ayant la dimension d'une énergie multipliée par une durée, ou d'une quantité de mouvement multipliée par une distance. Elle est notée habituellement ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ou S, et plus rarement ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ou A.

Cette grandeur a été définie par Leibniz en 1690. Elle s'est avérée d'une grande importance lors de la mise en évidence du principe de moindre action par Maupertuis en 1744, et plus tard lors de la découverte par Planck en 1900 de la constante universelle qui porte son nom, nommée par lui « quantum élémentaire d'action ».

À la différence de l'énergie, qui est relative à la vitesse, l'action est une unité universelle et un invariant relativiste.

Caractérisant globalement l'état d'un système et son évolution, c'est une grandeur fonctionnelle, qui prend en argument la trajectoire du système et la décrit globalement par un scalaire. L'évolution du système obéit au principe de moindre action, ce qui permet de déterminer en chaque point de la trajectoire l'équation du mouvement gouvernant le futur de ce système.

Le moment cinétique a la même dimension qu'une action, mais il s'agit d'une grandeur vectorielle.

Définition

Il y a plusieurs manières usuelles de définir l'action en physique^[1],[2].

L'action est généralement une intégrale par rapport au temps^[3], mais elle peut également comprendre des intégrations par rapport à des grandeurs spatiales. Dans certains cas, l'intégration se fait sur la trajectoire suivie par le système. Ainsi, l'action s'exprime mathématiquement comme l'intégrale par rapport au temps entre un temps initial et le temps d'observation du système d'une quantité L appelée le lagrangien de ce système^[4],[1], qui est la différence entre l’énergie cinétique T et l’énergie potentielle U :

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L\,\mathrm {d} t}$

avec ${\displaystyle L=T({\dot {x}},t)-U(x,t)}$

L'action a donc la dimension d'une énergie multipliée par une durée, ou, ce qui revient au même, d'une quantité de mouvement multipliée par une distance.

L'action est une grandeur physique qui ne se mesure pas ; elle n'intervient que comme auxiliaire de modélisation en physique théorique, pour déterminer la forme mathématique de l'équation du mouvement.

Notation

L'usage habituel, dont l'origine semble remonter à Hamilton, est de noter l'action par le symbole S, ou en écriture cursive ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$. Les raisons n'en semblent pas connues^[5]. Elle est également parfois notée ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, notamment lorsqu'on retrouve l'action et l'entropie dans une même formule^[6].

Histoire

La quantité d'action en physique a été définie par Leibniz en 1690 comme étant le produit de la quantité de matière par la durée et le carré de la vitesse (m·v²·t) ou, ce qui revient au même, le produit de la masse par la vitesse et la distance parcourue (m·v·l) ; autrement dit, l'énergie multipliée par la durée, ou la quantité de mouvement par la distance^[7]. Cependant l'introduction de cette grandeur a par la suite été souvent attribuée à Wolff, parce qu'il a popularisé la dynamique de Leibniz, ou à Maupertuis, parce qu'il a introduit le principe de moindre action. Mais l'un et l'autre reconnaissaient tenir de Leibniz la définition de cette grandeur^[8].

Le concept d'action s'est avéré d'une grande importance en physique, d'abord à cause du succès du principe de moindre action à la suite des travaux d’Euler, Lagrange, Hamilton, Jacobi et Helmholtz.

Plus tard cette grandeur a été démontrée être une unité universelle et un invariant relativiste, à la suite de la découverte par Max Planck de la discontinuité fondamentale qu'est le quantum élémentaire d'Action (1900). Dans les expériences, les échanges d'énergie se font de façon discontinue^[9], par quanta d'énergie^[10].

Cette découverte du quantum élémentaire d'action impliquant une discontinuité fondamentale a révolutionné la science physique et « ce concept qui introduit le discontinu dans la description de phénomènes élémentaires est à la base de la physique quantique^[11] ».

« le rôle fondamental joué par le quantum élémentaire d'action dans la physique... ouvrait une ère nouvelle dans les sciences de la nature. Car [son apparition] annonçait l'avènement de quelque chose d'entièrement inattendu et elle était destinée à bouleverser les bases mêmes de la pensée physique, qui depuis la découverte du calcul infinitésimal s'appuyaient sur l'idée que toutes les relations causales sont continues^[12]. »

Dans la théorie des quanta de Max Planck, le quantum élémentaire d'action est considéré comme la plus petite quantité d'action possible et l'action des corpuscules ou particules élémentaires varie de manière discontinue, selon des valeurs qui sont des multiples entiers de cette quantité minimale. Cependant la théorie de la mécanique quantique qui a suivi, formalisée entre autres par Erwin Schrödinger (en 1926), Werner Heisenberg (en 1925-1927), Paul Dirac (en 1926) et John von Neumann (en 1926-1930), considère la constante de Planck de manière plus abstraite, comme un coefficient de proportionnalité fondamental intimement lié aux mathématiques des commutateurs entre observables quantiques et au principe d'indétermination^[13].

En physique classique et relativiste

Principe de moindre action

Énoncé

L'importance de l'action en physique est due à l'existence d'un principe très général, appelé principe de moindre action : le trajet effectivement suivi par un objet entre deux points donnés est celui qui conduit à une valeur stationnaire de l’action. Lorsque la trajectoire reliant les deux points est suffisamment petite, cet extremum de l'action est un minimum, d'où le nom donné au principe.

Commentaires

Par exemple, en mécanique, au lieu de penser accélération sous l’effet de forces, on raisonne en matière de chemin d’action stationnaire.

Ce principe de moindre action s’est avéré simple, puissant et général à la fois en mécanique classique où il est strictement équivalent aux lois de Newton et en mécanique quantique ou relativiste et en électromagnétisme où sa généralisation a été très fructueuse.

Beaucoup de problèmes de physique peuvent être résolus en partant de ce principe :

• que ce soit pour trouver le trajet du maître nageur pour atteindre le plus rapidement une personne en train de se noyer ou pour trouver le parcours de la lumière ou le trajet dans un champ gravitationnel d’un point à un autre ;
• que ce soit pour établir les équations de Maxwell ou les bases de la mécanique quantique dans la formulation de Feynman en intégrale de chemin.

Les symétries d’une situation physique peuvent être mieux traitées, par exemple en utilisant le théorème de Noether qui établit qu’à toute symétrie continue correspond une loi de conservation.

D’abord formulé par Pierre Louis Moreau de Maupertuis, puis développé par Euler et surtout Lagrange (Pierre de Fermat avait déjà établi un principe de moindre temps pour le trajet de la lumière^[14]), le principe de moindre action avait conduit à la formulation lagrangienne et hamiltonienne de la mécanique classique.

Formalisation

Un lagrangien ${\displaystyle {\mathcal {L}}[\varphi _{i}]}$, appelé ainsi en l’honneur de Joseph Louis Lagrange, est une fonction des variables dynamiques ${\displaystyle \ \varphi _{i}(s)}$ qui décrit de façon concise les équations de mouvement du système.

Les équations du mouvement s’obtiennent selon le principe d’action stationnaire en écrivant :

${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi _{i}}}=0}$

où l’action est :

${\displaystyle {\mathcal {S}}[\varphi _{i}]=\int {{\mathcal {L}}[\varphi _{i}(s)]{}\,\mathrm {d} ^{n}s},}$

et ${\displaystyle \ s_{\alpha }}$ désigne une base de variables.

Les équations du mouvement obtenues ainsi sont identiques aux équations d’Euler-Lagrange et forment un système dynamique lagrangien.

Les exemples de systèmes dynamiques lagrangiens vont du modèle standard aux équations de Newton et à des problèmes de mathématiques pures tels que les équations géodésiques.

Exemple en mécanique classique

La mécanique lagrangienne est une reformulation de la mécanique classique. Le lagrangien est défini comme l'énergie cinétique moins l'énergie potentielle :

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}m{\dot {\vec {x}}}^{2}-V({\vec {x}}).}$

L’équation d'Euler-Lagrange associée s'écrit alors :

${\displaystyle m{\ddot {\vec {x}}}+\nabla V({\vec {x}})=0}$

où ${\displaystyle \nabla V}$ est le champ gradient de ${\displaystyle V}$.

Si l'on considère que ${\displaystyle {\vec {F}}=-\nabla V(x)}$, on retrouve la deuxième loi de Newton, c'est-à-dire :

${\displaystyle m{\ddot {\vec {x}}}={\vec {F}}}$.

En coordonnées sphériques (r, θ, φ), le lagrangien s’écrit :

${\displaystyle {\frac {m}{2}}({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}^{2})-V(r)}$.

Les équations d’Euler-Lagrange donnent alors :

${\displaystyle m{\ddot {r}}-mr({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}^{2})+V'=0}$,

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(mr^{2}{\dot {\theta }})-mr^{2}\sin \theta \cos \theta {\dot {\varphi }}^{2}=0}$,

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(mr^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }})=0}$.

Dans ce cas le paramètre ${\displaystyle \ s_{i}}$ est simplement le temps, et les variables dynamiques ${\displaystyle \ \phi _{i}(s)}$ donnent la trajectoire ${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$ de la particule.

En physique quantique

Quantum d'action

Comme d'autres grandeurs physiques, l'action est quantifiée. Le quantum d'action a été introduit en 1900 par Max Planck, dans sa démonstration de la loi régissant la répartition spectrale du rayonnement du corps noir. Appelé constante de Planck, il est noté h et vaut 6,626 070 15 × 10⁻³⁴ J s. On emploie aussi beaucoup le rapport ${\displaystyle h/2\pi }$, appelé constante de Planck réduite et noté ${\displaystyle \hbar }$ (prononcé « h bar »).

L'énergie d'un photon est ainsi ${\displaystyle E=h\nu }$, où ${\displaystyle \nu }$ désigne la fréquence du rayonnement électromagnétique dont le photon fait partie.

Principe d'incertitude

En mécanique quantique, l'action ne peut être pas être déterminée avec une précision meilleure que ne le permet le principe d'incertitude de Heisenberg :

${\displaystyle \sigma _{x}\,\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}}$

où ${\displaystyle \sigma _{x}}$ est l'écart type de la position et ${\displaystyle \sigma _{p}}$ celui de la quantité de mouvement.

En effet, l'opérateur position ${\displaystyle {\hat {x}}}$ et l'opérateur quantité de mouvement ${\displaystyle {\hat {p}}}$ ne commutent pas. Leur commutateur vaut :

${\displaystyle \left[{\hat {x}},{\hat {p}}\right]={\hat {x}}\,{\hat {p}}-{\hat {p}}\,{\hat {x}}=i\,\hbar }$.

Il n'est pas possible de mesurer simultanément ces deux grandeurs observables qui sont dites complémentaires^[15] et toute amélioration de la précision de la première mesure entraîne inévitablement une augmentation de l'imprécision de la seconde^[16]. La constante de Planck, qui a la dimension d'une action, permet de calculer cette limitation indépassable de la précision conformément à la formule de Heisenberg indiquée plus haut.

En théorie quantique des champs

En 1942, Richard Feynman a introduit en mécanique quantique le concept d'intégrale de chemin, reposant sur le lagrangien et le principe de moindre action^[17]. Cette méthode prédictive reste un sujet de recherches actif en ce qui concerne ses bases mathématiques^[18].

En théorie quantique des champs, le déplacement d'une particule d'un point à un autre entre deux instants ${\displaystyle t_{1}}$ et ${\displaystyle t_{2}}$ ou l'évolution d'un champ d'une configuration à une autre entre deux instants est sujet à une probabilité que l'on calcule en considérant tous les chemins (ou « histoires ») possibles entre les états de départ et d'arrivée. À chaque chemin correspondent une action S et une « amplitude de probabilité » (complexe) ${\displaystyle \exp(\mathrm {i} S/\hbar )}$ (de module égal à un). L'amplitude de probabilité de l'évolution considérée est la somme des amplitudes de probabilité de tous les chemins possibles^[19].

Cette approche rejoint le principe d'extremum de l'action (pas nécessairement un minimum) pour les systèmes macroscopiques de la physique classique. L'action de chaque chemin est alors de l'ordre d'un extrêmement grand nombre de fois h^[a] et les amplitudes de probabilité des chemins possibles ont des arguments globalement aléatoires : l'amplitude de probabilité totale est de module très proche de un, à l'exception notable des chemins proches du chemin le plus probable quand l'action de ce dernier est extrémale (leurs amplitudes de probabilité, ayant des arguments proches, ont une somme de grand module)^[19].

Notes et références

Notes

1. Quand on déplace par exemple une masse d'un gramme à la vitesse d'un centimètre par seconde sur une longueur d'un centimètre, l'action de ce chemin est de l'ordre de 1,5 × 10²⁶ fois h^[19].

Références

1. (en) L.N. Hand et J.D. Finch, Analytical Mechanics, Cambridge University Press, 2008 (ISBN 978-0-521-57572-0).
2. (en) R.G. Lerner et G.L. Triggen, Encyclopaedia of Physics, VHC publishers, 1991 (réimpr. 2e) (ISBN 3-527-26954-1) (ISBN 0-89573-752-3).
3. Herbert Goldstein (trad. A. et Ch. Moubacher, préf. Théo Kahan), Mécanique classique, P.U.F., 1964, « VII. Les équations du mouvement d'Hamilton ».
4. Rémi Hakim, Mécanique, Armand Colin, coll. « Cursus », 1995 (ISBN 2200215878), « 6. Notions de mécanique analytique », p. 135
5. Why is the action from the principle of least action traditionally denoted S?
6. Louis de Broglie, Recherches d'un demi-siècle, Paris, Albin Michel, 1976, p. 15 : « C'est ainsi que j'ai été amené à établir entre l'action A et l'entropie S une relation de la forme A/h = -S/k où h et k sont les constantes fondamentales de la Physique théorique. »
7. Dynamica de Potentia et legibus naturae corporeae (1690, in C. I. Gerhardt, Math 6, p. 354 sq. : « Actiones motuum formales sunt in ratione composita ex rationibus mobilium (ou quantitalum materiæ) et temporum simplice et velocitatum agendi duplicata »). En français, voir sa lettre à Varignon du 16-10-1707 : « Mais l'Action n'est point ce que vous pensez : la considération du temps y entre ; elle est comme le produit de la masse par l'espace et la vitesse, ou du temps par la force vive. J'ai remarqué que, dans les modifications de mouvements, elle devient ordinairement un Maximum ou un Minimum ».
   Voir aussi Couturat, La logique de Leibniz, Paris, Alcan, 1901, p. 577 sq. (lire en ligne).
8. Maupertuis : « Ayant trouvé ce mot (action) tout établi par Leibniz et par Wolff, pour exprimer la même idée et trouvant qu'il y répondait bien, je n'ai pas voulu changer les termes » (D'Alembert, Encyclopédie, art. Force, p. 116 ; sur wikisource). — Voir aussi Suzanne Bachelard, Maupertuis et le principe de la moindre action, Thalès, 1958, p. 14 (lire en ligne).
9. Werner Heisenberg, Les principes physiques de la théorie des quanta, avec une préface de Louis de Broglie, Gauthiers-Villards, 1972, p. 7 : « La notion d'état stationnaire que ces expériences suggèrent, constitue l'expression la plus significative de la discontinuité observée dans tous les processus atomiques » ; p. 29 : « A chaque nouvelle observation la représentation mathématique du fait physique se modifie d'une manière discontinue ... A chaque nouvelle observation notre connaissance du système est modifiée d'une manière discontinue » ; p. 76 : « 7. Phénomènes de fluctuation du rayonnement... les valeurs moyennes du carré de la fluctuation, qui appartiennent à une théorie du discontinu, sont contenues en réalité dans le schéma mathématique de la théorie quantique. »
10. Einstein, Infeld, L'évolution des idées en physique, Flammarion, coll. Champs, pp. 235, 277 : « S'il nous fallait caractériser l'idée principale de la théorie des quanta par une seule proposition, nous dirions : il est nécessaire de supposer que certaines quantités physiques, regardées jusqu'à présent comme continues, sont composées de quanta élémentaires. » « La matière a une structure granulaire ; elle est composée de particules élémentaires, les quanta élémentaires de la matière. »
11. Art. « Quantum d'Action », Encyclopædia Universalis (lire en ligne).
12. Planck, Autobiographie, p. 94.
13. Jean-Marc Levy-Leblond, Alain Laverne, article « Mécanique quantique », Encyclopedia Universalis :

    « Les relations de Planck-Einstein (${\displaystyle E=h\nu }$) et de De Broglie (${\displaystyle p=hk}$) lient des propriétés de type corpusculaire (énergie et quantité de mouvement d'entités discrètes) à des propriétés de type ondulatoire (périodicités spatio-temporelles). Plus précisément, elles permettent de cerner le domaine de validité approximative de ces concepts. C'est là l'un des rôles essentiels des fameuses relations de Heisenberg, dites encore relations d'incertitude. »

14. (en) Richard Feynman, The Feynman Lectures on Physics, Reading, Massachusetts, Addison-Wesley, 1963, p. 26-3.
15. P. Atkins et J. de Paula, Chimie physique, 3^e éd. française, de Boeck, 2008, p. 271.
16. Udiprod, « Visualisation de la physique quantique (Mécanique quantique) », sur Youtube, 31 janvier 2017 (consulté le 15 juin 2021).
17. (en) Richard P. Feynman, The principle of least action in quantum mechanics (thèse de doctorat en physique), université de Princeton, mai 1942, 74 p. (DOI 10.1142/9789812567635_0001). Cette thèse est publiée dans (en) Laurie M. Brown (dir.), Feynman's thesis : a new approach to quantum theory, World Scientific, 2005 (ISBN 981-256-380-6, lire en ligne).
18. (en) S. Albeverio, S. Mazzucchi, Path integral: mathematical aspects, 2011.
19. (en) Anthony Zee, Quantum field theory, as simply as possible, Princeton University Press, 1923, 372 p. (ISBN 978-0-691-17429-7 et 978-0-691-23927-9), p. 89-95.

Voir aussi

Bibliographie

• Max Planck, Autobiographie scientifique, Paris, Flammarion, coll. Champs, 1960 (original en allemand : Wissenchaftliche Selbstbiographie, Barth, Leipzig, 1948).
• Nicolas Sator, Introduction au principe variationnel et à la mécanique analytique, Laboratoire de physique théorique de la matière condensée, université Pierre et Marie Curie Paris 6, 2017 (lire en ligne [PDF]).

Articles connexes

• Principe de moindre action
• Mécanique lagrangienne
• Théorème de Noether
• Mécanique hamiltonienne
• Action d'Einstein-Hilbert