Il est drafté une première fois en juin 2008 par les Nationals de Washington au premier tour de sélection (9e choix)[2]. Il repousse l'offre et poursuit ses études universitaires.
Crow rejoint les rangs professionnels à l'issue de la draft de juin 2009 au cours de laquelle il est sélectionné par les Royals de Kansas City au premier tour de sélection (12e choix)[3]. Il perçoit un bonus de 1,5 million de dollars à la signature de son premier contrat professionnel.
Il passe une saison en Ligues mineures avant d'effectuer ses débuts en Ligue majeure le 31 mars2011 à l'occasion du match d'ouverture de la saison 2011 des Royals. Il effectue une relève d'une manche un tiers, n'accordant à l'occasion aucun coup sûr et aucun point. Il sort trois des quatre frappeurs affrontés sur des retraits sur des prises[4]. À sa sortie suivante en relève le 2 avril contre les Angels de Los Angeles, il mérite sa première victoire dans les grandes ligues[5]. Crow connaît une bonne saison recrue avec une moyenne de points mérités de 2,76 en 62 manches lancées pour Kansas City. Les Royals l'envoient au monticule à 57 reprises, et il termine l'année avec 4 victoires, 4 défaites, et 65 retraits sur des prises. Il est invité au match des étoiles 2011 mais n'entre pas en jeu dans la rencontre[6].
Il offre des performances constantes pour les Royals dans les années qui suivent. En 73 matchs en 2012, sa moyenne de points mérités s'élève à 3,48 en 64 manches et deux tiers. En 2013, il maintient une moyenne de 3,38 en 48 manches lancées lors de 57 sorties.
En 2014, il remporte 6 victoires contre une seule défaite en 67 matchs, mais sa moyenne de points mérités grimpe à 4,12 en 59 manches lancées et il n'enregistre que 5,2 retraits sur des prises par 9 manches au monticule, contrairement à 9 deux années plus tôt et 8,3 en 2013. Les Royals comptant sur un excellent personnel de releveurs, Crow n'est pas inclus dans l'effectif du club lors des séries éliminatoires[7].
