Équation de Haldane

L'équation de Haldane décrit, dans le cas d'une enzyme qui catalyse réversiblement (dans les deux directions de la réaction) la transformation d'un substrat en produit, la relation qui existe entre les paramètres cinétiques de l'enzyme et la constante d'équilibre de la réaction^[1]. Elle est démontrée pour la première fois en 1930 dans le livre Enzymes de John Burdon Sanderson Haldane^[2],[3].

Cette équation explique que certaines enzymes peuvent être de « meilleurs » catalyseurs (en termes de vitesses maximales) dans une des deux directions de la réaction^[4].

À chaque hypothèse de mécanisme correspond une équation de Haldane particulière^[5].

Démonstration dans le cas d'un modèle cinétique simple

En faisant l'hypothèse du mécanisme ci-dessous

${\displaystyle {\rm {E}}+{\rm {S}}\,{\stackrel {k_{1}}{\underset {k_{-1}}{\rightleftharpoons }}}\,{\rm {ES}}\,{\stackrel {k_{2}}{\underset {k_{-2}}{\rightleftharpoons }}}\,{\rm {E}}+{\rm {P}}}$

la vitesse stationnaire initiale de la réaction est ${\displaystyle v={\frac {d\,[{\rm {P}}]}{dt}}={\frac {(k_{1}k_{2}\,[{\rm {S}}]-k_{-1}k_{-2}[{\rm {P}}])[{\rm {E}}]_{\rm {tot}}}{k_{-1}+k_{2}+k_{1}\,[{\rm {S}}]+k_{-2}\,[{\rm {P}}]}}}$

La vitesse ${\displaystyle v}$ est positive si la réaction se déroule de la gauche vers la droite (${\displaystyle S\rightarrow P}$) et négative dans le cas contraire.

L'équilibre est atteint si ${\displaystyle v=0}$, ce qui se produit si ${\displaystyle {\frac {[{\rm {P}}]_{\text{éq}}}{[{\rm {S}}]_{\text{éq}}}}={\frac {k_{1}k_{2}}{k_{-1}k_{-2}}}=K_{\text{éq}}}$. Cela montre que la thermodynamique impose une relation entre les quatre constantes de vitesse.

Les valeurs des vitesses initiales maximales dans le sens aller et retour (forward/backward), obtenues quand ${\displaystyle [{\rm {S}}]\rightarrow \infty }$, ${\displaystyle [{\rm {P}}]=0}$ d'une part, et ${\displaystyle [{\rm {S}}]=0}$, ${\displaystyle [{\rm {P}}]\rightarrow \infty }$ d'autre part, sont ${\displaystyle v_{\rm {max}}^{f}=k_{2}{\rm {[E]}}_{\rm {tot}}}$ et ${\displaystyle v_{\rm {max}}^{b}=-k_{-1}{\rm {[E]}}_{\rm {tot}}}$, respectivement.

Le rapport des vitesses maximales dans les deux sens est égal à ${\displaystyle k_{2}/k_{-1}}$ ; il n'est pas égal à la constante d'équilibre : cela implique que la thermodynamique (la valeur de la constante d'équilibre) ne détermine pas le rapport des deux vitesses maximales.

À partir des équations des vitesses initiales maximales dans le sens aller et retour, il est aussi possible d'exprimer les deux constantes de Michaelis ${\displaystyle K_{M}^{S}=(k_{-1}+k_{2})/k_{1}}$ et ${\displaystyle K_{M}^{P}=(k_{-1}+k_{2})/k_{-2}}$.

L'équation de Haldane est :

${\displaystyle K_{\text{éq}}={\frac {[{\rm {P}}]_{\text{éq}}}{[{\rm {S}}]_{\text{éq}}}}={\frac {v_{\rm {max}}^{f}/K_{M}^{S}}{v_{\rm {max}}^{b}/K_{M}^{P}}}}$.

Elle montre que la thermodynamique contraint le rapport entre les constantes de spécificité (en) (${\displaystyle v_{\rm {max}}/K_{M}}$) aller et retour, et non pas le rapport des vitesses maximales ${\displaystyle v_{\rm {max}}}$.

Réactions à plusieurs substrats

Dans le cas des enzymes catalysant la réaction entre plusieurs substrats pour former plusieurs produits, à chaque mécanisme est associée au moins une équation de Haldane de la forme

${\displaystyle K_{\text{éq}}=\left({\frac {v_{\rm {max}}^{f}}{v_{\rm {max}}^{b}}}\right)^{n}{\frac {K_{p}K_{q}K_{r}\ldots }{K_{a}K_{b}K_{c}\ldots }}}$

dont au moins une avec ${\displaystyle n=1}$, où les ${\displaystyle K}$ sont des constantes de Michaelis ou des constantes d'inhibition^[5].

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Enzyme kinetics#Reversible catalysis and the Haldane equation » (voir la liste des auteurs).

1. (en) Fersht, Alan, Structure and mechanism in protein science : a guide to enzyme catalysis and protein folding, W.H. Freeman, (1998 printing) (ISBN 978-0-7167-3268-6 et 0-7167-3268-8, OCLC 39606488, lire en ligne)
2. (en) John Burdon Sanderson Haldane, Enzymes, Longmans, Green, 1930 (lire en ligne)
3. (en) John Burdon Sanderson Haldane, Enzymes, MIT Press, 1965, 235 p. (ISBN 978-0-262-58003-8, ASIN 0262580039)
4. (en) Athel Cornish-Bowden, Fundamentals of Enzyme Kinetics, Portland Press, 2004, p. 53 :

   « Some enzymes are much more effective catalysts for one direction than the other. As a striking example, the limiting rates of the forward reaction catalyzed by methionine adenosyltransferase is about 10⁵ greater than that for the reverse direction, even though the equilibrium constant is close to unity. »

5. (en) Segel, Irwin H., 1935-, Enzyme kinetics : behavior and analysis of rapid equilibrium and steady state enzyme systems, 957 p. (ISBN 978-0-471-77425-9, 0-471-77425-1 et 0-471-30309-7, OCLC 1094995, lire en ligne), « Haldane equations », p. 527

Articles connexes

• Équation de Michaelis-Menten
• John Burdon Sanderson Haldane