Palou kilpaili eri karting-sarjoissa vuodet 2006–2013. Vuonna 2014 Palou kilpaili Euroformula Open -sarjassa saavuttaen kolme voittoa ja kolme paalupaikkaa sijoittuen sarjan kolmanneksi. Samana vuonna hän ajoi BRDC Formula 4 -sarjassa muutamia kilpailuja. Vuonna 2015 Palou siirtyi GP3-sarjaan ajaen Campos Racing -tallissa. Hän voitti yhden kilpailun ja saavutti 51 pistettä sijoittuen sarjan kymmenenneksi. Vuonna 2016 Palou jatkoi GP3-sarjassa. Hän saavutti yhden toisen sijan ja sijoittui sarjan 15:nneksi 22 pisteellään.
Kaudella 2017 Palou ajoi neljä osakilpailua Formula 2 -sarjassa Campos Racing -tallissa.
Vuonna 2022 Palou liittyi McLareninFormula 1 -tallin testikuljettaksi ja on ajanut perjantain harjoituksissa. Palou omistaa isänsä kanssa omaa nimeään kantavan formulatallin Palou Motorsportin.
Formula 1 -tulokset
Lihavointi tarkoittaa paalupaikkaa, kursivointi kilpailun nopeinta kierrosta. Muut selitteet löytyvät täältä.