Harpin ja viivoittimen avulla voidaan piirtää vain sellaisia janoja, joiden pituudet saadaan lähtöjanojen pituuksista algebrallisin operaatioin eli peruslaskutoimitusten (yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku) sekä neliöjuuren oton avulla. Tällaisten janojen pituudet ovat aina algebrallisia lukuja. Jos janan pituus on ei-algebrallinen eli transkendenttinen, sitä ei voi muodostaa yksikköjanasta harpilla ja viivoittimella.
Jos ympyrän säteen pituus on 1, on ympyrän pinta-ala . Ympyrän neliöimiseksi olisi siis muodostettava jana, jonka pituus on neliön sivun pituus . Koska on mahdollista piirtää neliöjuuren otto tai kertolasku, on yhtä mahdollista tai mahdotonta muodostaa jana, jonka sivun pituus on . Lopullisen vastauksen epätietoisuuteen antoi Ferdinand Lindemann, joka todisti vuonna 1882, että luku π on transsendenttiluku. Vaaditun janan muodostaminen on siis mahdotonta eli ympyrää ei voi neliöidä.[2]
Ympyrän paloittelu
Vuonna 1925 Alfred Tarski esitti ongelmaan muutoksen ja ehdotti, että ympyrä voitaisiin paloitella neliöksi. Unkarilainen matemaatikko Miklós Laczkovich esitti vuonna 1989 todistuksen, jonka mukaan ympyrän paloittelu neliöksi olisi mahdollista ja arvioi tarvittavien palojen määräksi noin 10 potenssiin 50 kappaletta.[1]
Pappas, Theoni: Lisää matematiikan iloja. ((More joy of mathematics: Exploring mathematics all around you, 1991.) Suomentanut Juha Pietiläinen) Helsinki: Terra cognita, 2001. ISBN 952-5202-46-1
