McKenna esiintyi teatterissa jo ennen vuonna 1952 tapahtunutta elokuvadebyyttiään. Hän voitti uransa aikana niin Baftan kuin Laurence Olivier -palkinnonkin; hän oli ehdolla myös Golden Globen saajaksi.
Elokuvia, joissa McKenna on esiintynyt, ovat muiden muassa A Town Like Alice (1956), Naisvakooja (1958) ja Elsa – vapaana syntynyt (1966). Tunnettu näyttelijä on myös eläinten oikeuksien puolestapuhuja.
