Potentiaaliteoria

Potentiaalikentän kolmiulotteinen malli.

Potentiaaliteoria on matematiikan osa-alue, joka liittyy kenttien analyysiin. Sen peruskysymys on: "Voidaanko kenttä ${\displaystyle F}$ esittää toisen kentän ${\displaystyle G}$ derivaattana?" Toinen kysymys on: "Millä lisäehdolla ${\displaystyle G}$ voidaan määrätä yksikäsitteisesti ?"

Sovellutuksia

Potentiaaliteoriaa sovelletaan osittaisdifferentiaaliyhtälöiden (ODY) analyysissä. 2. asteen ODY:t kootaan tavallisesti useammasta 1. asteen ODY:stä, ja jokin näistä voidaan pakottaa voimaan käyttämällä potentiaalia. Esimerkiksi sähköstatiikassa Faradayn laki ${\displaystyle \nabla \times E=0}$ pakotetaan voimaan potentiaalilla ${\displaystyle E=-\nabla \phi }$, jolloin Gaussin laista sähkökentälle (${\displaystyle \nabla \cdot (\epsilon E)=\rho }$) seuraa 2. kertaluvun elliptinen osittaisdifferentiaaliyhtälö ${\displaystyle \nabla \cdot (\epsilon \nabla \phi )=-\rho }$. Potentiaalin olemassaolokysymykseen vastaamiseksi tarvitaan kohomologiateoriaa ja sen tältä kannalta keskeisimmät asiat ovat de Rhamin lause ja Hodge-teoria.

Esimerkkejä

Vektorikenttä voidaan usein esittää joko skalaarikentän gradienttina tai toisen vektorikentän roottorina. Ensimmäisessä tapauksessa kentän kaikkien kiertointegraalien on hävittävä (sen on oltava pyörteetön ja integraalien ensimmäisen homologiaryhmän alkioiden yli hävittävä) ja jälkimmäisessä kaikkien suljettujen pintojen yli on kentän pintaintegraalien hävittävä (lähteetön ja integraalien toisen homologiaryhmän alkioiden yli hävittävä).

Ulkoderivaatat kuvaavat ${\displaystyle n}$-asteisilta differentiaalimuodoilta ${\displaystyle (n+1)}$-asteisille muodoille. Tällöin ${\displaystyle (n+1)}$-muoto voidaan vastaavin ehdoin esittää ${\displaystyle n}$-muodon ulkoderivaattana.