Matematiikan kauneus

Esimerkki ”menetelmän kauneudesta” – Pythagoraan lauseen yksinkertainen todistus.

Matematiikan kauneudella tarkoitetaan sitä, että monet matemaatikot saavat esteettistä mielihyvää työstään ja matematiikasta yleensäkin ja kuvaavat tätä tunnetta sanomalla matematiikkaa (tai jotain sen osa-aluetta) ”kauniiksi”. Joskus matemaatikot kuvaavat matematiikkaa taiteeksi, ja sitä verrataan erityisesti musiikkiin tai runouteen. Bertrand Russell luonnehti matematiikan kauneutta seuraavasti:

»Oikein nähtynä matematiikka sisältää paitsi totuuden myös äärimmäistä kauneutta — kylmää ja ankaraa kauneutta, sellaista kuin veistos edustaa, vetoamatta miltään osin luontomme vajavuuksiin, tukeutumatta musiikin tai taiteen suurellisiin hepeneisiin; silti ylevässä puhtaudessaan matematiikka pystyy tavoittamaan ankaran täydellisyyden, jota vain taiteista suurimmat edustavat. Puhtaan mielihyvän, haltioitumisen, ihmisyyden rajojen ylittymisen tunne, joka on parhaimman erinomaisuuden koetinkivi, kuuluu matematiikkaan yhtä olennaisesti kuin runouteenkin.^[1]»

Paul Erdős luonnehti matematiikan sanoinkuvaamattomuutta kirjoittaessaan: "Miksi numerot ovat kauniita? Yhtä hyvin voisi kysyä, miksi Beethovenin 9. sinfonia on kaunis. Jos joku ei näe syytä, kukaan ei voi sitä hänelle selittää. Minä tiedän numeroiden olevan kauniita. Jos ne eivät ole kauniita, ei mikään muukaan ole."^[2]

Menetelmän kauneus

Matemaatikot luonnehtivat erityisen onnistunutta matemaattista todistusta elegantiksi tai tyylikkääksi.^[3] Tapauksesta riippuen sillä voidaan tarkoittaa

• todistusta, joka tukeutuu mahdollisimman vähän lisätodistuksiin tai aiempiin tuloksiin
• harvinaisen ytimekästä todistusta
• todistusta, joka johtaa tulokseen yllättävää tietä (esim. johtamalla todistus jostain asiaan liittymättömästä lauseesta tai lauseista)
• uuteen ja omintakeiseen näkemykseen perustuvaa todistusta
• todistusmenetelmää, jota voidaan käyttää ratkaistaessa muita samankaltaisia ongelmia.

Eleganttia todistusta etsiessään matemaatikot usein hakevat erilaisia, toisistaan riippumattomia tapoja tuloksen todistamiseksi — ensimmäisenä löydetty ei välttämättä ole paras (kuten sokkelossa ensimmäisenä perille vievä reitti ei välttämättä ole lyhin). Eniten erilaisia todistuksia on luultavasti löydetty Pythagoraan lauseelle: sille on esitetty satoja todistuksia.^[4]

Myös neliönjäännöslauseelle on löydetty monia eri todistuksia — yksin Carl Friedrich Gauss julkaisi lauseelle kahdeksan eri todistusta.

Vastavuoroisesti tuloksia, jotka ovat loogisesti oikeita mutta jotka vaativat työläitä laskelmia, ylettömän huolellisia menetelmiä, erittäin perinteisiä lähestymistapoja tai jotka edellyttävät lukuisia erityisen voimakkaita aksioomia tai aikaisempia tuloksia, ei yleensä luonnehdita "eleganteiksi", vaan niitä kuvataan pikemminkin "rumiksi" tai "kömpelöiksi".

Tähän liittyy Occamin partaveitsi, jonka mukaan teoriasta tulee karsia kaikki ylimääräiset tekijät eli niiden tulee olla mahdollisimman yksinkertaisia.

Tulosten kauneus

Kun lähdetään kohdasta e⁰ = 1, matkaten nopeudella i ajan pituuden π verran ja lisätään 1, päästään kohtaan 0.

Matemaatikot näkevät kauneutta tuloksissa, jotka muodostavat yhteyksiä kahden matematiikan osa-alueen välille, vaikka niillä ei ensisilmäyksellä näyttäisi olevan mitään yhteistä. Näitä tuloksia kuvataan usein syvällisiksi tai syviksi (engl. deep).

Vaikka on vaikeaa löytää yksimielisyyttä siitä, onko jokin tulos syvällinen vai ei, muutamiin esimerkkeihin viitataan usein. Yksi on Eulerin identiteetti:

${\displaystyle \displaystyle e^{i\pi }+1=0\,.}$

Kaava sitoo toisiinsa useat nykymatematiikan tärkeät luvut: Neperin luvun, piin, imaginaariyksikön ja perusluvut 1:n ja 0:n. Se yhdistää matemaattisen analyysin, geometrian ja algebran. Yhtälössä esiintyvät myös matematiikan kolme tärkeää laskutoimitusta: yhteenlasku, kertolasku ja potenssiin korottaminen. Fyysikko Richard Feynman kutsuu tätä "matematiikan merkittävimmäksi lauseeksi".

Nykyaikaisiin esimerkkeihin kuuluvat modulaarisuuslause, joka tuo tärkeän yhteyden elliptisten käyrien ja modulimuotojen välille (Andrew Wiles ja Robert Langlands saivat tästä työstään Wolfin palkinnon), ja "Hirviömäinen pontikka" ("Monstrous moonshine"), joka yhdistää "Hirviöryhmän" ("Monster group") modulimuotoihin säieteorian kautta (Richard Borcherds palkittiin työstään Fieldsin mitalilla).

Syvällisen vastakohta on triviaali. Triviaali lause voi olla tulos, joka voidaan johtaa itsestään selvällä ja suoraviivaisella tavalla toisista tunnetuista tuloksista tai joka koskee vain tiettyä osaa määrätystä joukosta, kuten tyhjä joukko. Joskus kuitenkin lause voi olla kyllin omaperäinen, että se voidaan luokitella "syväksi", vaikka sen todistus onkin melko ilmeinen.

Kokemuksen kauneus

Numeroiden ja symbolien käsittelystä saatavaa tyydytystä tarvitaan kenties kaikessa matematiikassa. Koska matematiikkaa tarvitaan tieteessä ja tekniikassa, on todennäköistä, että mikä tahansa teknologinen yhteiskunta tukee tätä estetiikkaa, ainakin sen tieteenfilosofiassa, jos ei muualla.

Voimakkain kokemus matemaattisesta kauneudesta tulee useimmille matemaatikoille siitä, että he aktiivisesti harjoittavat sitä. Matematiikasta ei voi nauttia tai harjoittaa sitä passiivisesti. Siinä ei ole roolia tarkkailijalle, yleisölle tai katsojalle.^[5] Bertrand Russell viittasi matematiikan karuun kauneuteen.

Kauneus ja filosofia

Johannes Keplerin Platonin kappaleisiin perustuva malli aurinkokunnasta, joka yhdisti matemaattisen kauneuden tähtitieteeseen.

Joillain matemaatikoilla on se mielipide, että matematiikan tekeminen on lähempänä löytämistä kuin keksimistä. Esimerkiksi:

»Ei ole tieteen tutkijaa, ei runoilijaa, ei maalaria eikä muusikkoa joka ei kertoisi löytäneensä valmiina tieteellistä löytöään tai runoaan tai kuvaansa – että se tuli hänelle ulkoa eikä hän tietoisesti sitä luonut sisältään. »
(William Kingdon Clifford, luennosta Royal Institutionille otsikkona "Mentaalisen kehityksen tiloja" (Some of the conditions of mental development"))

Nämä matemaatikot uskovat, että matematiikan yksityiskohtaisten ja tarkkojen tulosten voidaan järkevästi olettaa olevan tosia täysin riippumatta universumista, jossa elämme. He voivat esimerkiksi väittää teorian luonnollisista luvuista olevan perustavalaatuisesti pätevä riippumatta kontekstista. Jotkin matemaatikot ovat laajentaneet tämän näkemyksen matemaattisesta kauneudesta vielä pitemmälle lähestyen mystiikkaa.

Pythagoras (sekä hänen koulukuntansa pythagoralaisuus) uskoivat numeroiden kirjaimelliseen olevaisuuteen. Irrationaalilukujen olemassaolon löytyminen oli heille šokki – heille sellaisten numeroiden olemassaolo, joita ei voitu esittää kahden luvun suhteena, oli luonnossa oleva virhe. Nykyajan näkökulmasta katsottuna Pythagoraan numeroiden mystinen käsittely oli paremminkin numerologiaa kuin matematiikkaa.

Platonin filosofiassa on olemassa kaksi maailmaa: todellinen fyysinen maailma, jossa me elämme, ja toinen, abstrakti maailma, joka sisältää muuttumattoman totuuden – johon kuuluu myös matematiikka. Hän uskoi todellisen maailman olevan vain abstraktin maailman heijastuma.

Galileo Galilein kerrotaan sanoneen: "Mathematiikka on kieli, jolla Jumala kirjoitti Universumin."

Unkarilainen mathemaatikko Paul Erdős (vaikkakin ateisti^[6]) puhui kuvitellusta kirjasta, johon Jumala on kirjoittanut kaikki kauneimmat matemaattiset todistukset. Kun Erdős halusi erityisesti korostaa jotain todistusta, hän toi ilmi, että "Tämä löytyy Kirjasta!" Tämä näkemys tuo ilmi sen idean, että matematiikka – olennaisena perustuksena, jolle universumimme lait on perustettu – on luonnollinen ehdokas sille, mikä on personoitu Jumalaksi eri uskonnoissa.

Ranskalainen filosofi Alain Badiou väittää ontologiaa matematiikaksi. Hän myös uskoo, että matematiikan, runouden ja filosofian välillä on syvä yhteys.

Joissain tapauksissa filosofit ja muut tieteenharjoittajat, jotka ovat käyttäneet matematiikkaa laajasti hyväkseen, ovat tehneet päättelyissään loikkia kauneuden ja fyysisen totuuden välillä virheellisisiksi osoittautuneilla tavoilla.

Esimerkiksi Johannes Kepler uskoi yhdessä vaiheessa, että silloin tunnettujen planeettojen radat olivat Jumalan järjestämiä muistuttamaan viiden Platonin kappaleen järjestystä. Koska Platonin kappaleita on vain viisi, Keplerin hypoteesi salli vain kuusi planeettarataa, ja oli todistettu vääräksi Uranuksen löytyessä.

Kauneus ja matemaattinen informaatioteoria

1970-luvulla Abraham Moles ja Frieder Nake analysoivat linkkejä kauneuden, informaation käsittelyn (information processing) ja informaatioteorian välillä.^[7][8] 1990-luvulla Jürgen Schmidhuber kehitti matemaattisen teorian katsoja-riippuvaisesta subjektiivisesta kauneudesta, joka perustuu algoritmiseen informaatioteoriaan: kauneimmilla verrattavissa olevilla kohteilla on lyhyimmät algoritmit (esim. en:Kolmogorov complexity) suhteessa siihen, mitä tarkkailija jo tietää.^[9][10][11]

Matematiikka ja taide

Ateenan Parthenonin korkeuden ja sen päädyn pituuden suhde on kultainen leikkaus.

Kuvataiteessa ja arkkitehtuurissa esiintyvä kultainen leikkaus on sommittelun perussääntöjä. Muodot, joissa esiintyy kultainen leikkaus, koetaan yleisesti esteettisesti miellyttäviksi.^[12]

Jalkakäytävää samanmuotoisista palasista

Tessellaation avulla voidaan täyttää kaksiulotteinen taso geometrisen muodon toistamisella aukkoja jättämättä. M. C. Escher sai niihin inspiraation tutkiessaan Alhambran koristeluja.

Mandelbrotin joukon fraktaalitaidetta

Fraktaali on itsesimilaarinen joukko, eli se näyttää samalta tai samankaltaiselta, katsoi sitä millä suurennoksella tahansa. Fraktaaleja voidaan suurentaa rajatta. Niillä on yksityiskohtia kaikissa mittakaavoissa eli yksityiskohdat jatkuvat äärettömiin.^[13] Fraktaaleista voidaan laatia taideteoksia ohjelmoitavan tietokonegrafiikan keinoin.

Lähteet

1. Bertrand Russell: ”The Study of Mathematics”, Mysticism and Logic: And Other Essays, s. 60. Longman, 1919. Teoksen verkkoversio (viitattu 22.8.2008).
2. Keith Devlin: ”Do Mathematicians Have Different Brains?”, The Math Gene: How Mathematical Thinking Evolved And Why Numbers Are Like Gossip, s. 140. Basic Books, 2000. ISBN 9780465016198
3. Sum of integers cubed:Fibonacci's elegant proof
4. Elisha Scott Loomis julkisti yli 360 todistusta kirjassaan Pythagorean Proposition (ISBN 0873530365).
5. Phillips, George: ”Preface”, Mathematics Is Not a Spectator Sport. Springer Science+Business Media, 2005. ”"...there is nothing in the world of mathematics that corresponds to an audience in a concert hall, where the passive listen to the active. Happily, mathematicians are all doers, not spectators.” ISBN 0387255281 Teoksen verkkoversio (viitattu 22.8.2008).
6. Schechter, Bruce: My brain is open: The mathematical journeys of Paul Erdős, s. 70–71. New York: Simon & Schuster, 2000. ISBN 0-684-85980-7
7. A. Moles: Théorie de l'information et perception esthétique, Paris, Denoël, 1973 (Information Theory and aesthetical perception)
8. F Nake (1974). Ästhetik als Informationsverarbeitung. (Aesthetics as information processing). Grundlagen und Anwendungen der Informatik im Bereich ästhetischer Produktion und Kritik. Springer, 1974, ISBN 3211812164, ISBN 9783211812167
9. J. Schmidhuber. Low-complexity art. Leonardo, Journal of the International Society for the Arts, Sciences, and Technology, 30(2):97–103, 1997. http://www.jstor.org/pss/1576418
10. J. Schmidhuber. Papers on the theory of beauty and low-complexity art since 1994: http://www.idsia.ch/~juergen/beauty.html
11. J. Schmidhuber. Simple Algorithmic Principles of Discovery, Subjective Beauty, Selective Attention, Curiosity & Creativity. Proc. 10th Intl. Conf. on Discovery Science (DS 2007) p. 26-38, LNAI 4755, Springer, 2007. Also in Proc. 18th Intl. Conf. on Algorithmic Learning Theory (ALT 2007) p. 32, LNAI 4754, Springer, 2007. Joint invited lecture for DS 2007 and ALT 2007, Sendai, Japan, 2007. http://arxiv.org/abs/0709.0674
12. David Bergamini: Lukujen maailma, s. 94. Suomentanut Pertti Jotuni. Sanoma Oy, 1972.
13. Kananen, Anitta: Fraktaali selätti sellon Tiedonjyvä. 1/2004. Arkistoitu 13.11.2012. Viitattu 7.7.2011.

Kirjallisuutta

• Hardy, G. H.: Matemaatikon apologia. ((A mathematician’s apology, 1940.) Esipuhe: C. P. Snow. Suomentanut Kimmo Pietiläinen) Helsinki: Terra Cognita, 1997. ISBN 952-5202-04-6