Tämä artikkeli kertoo matemaattisesta kommutaattorista. Laitteesta kertoo artikkeli Virrankäännin.
Ryhmäteoriassa ryhmän G alkioiden x ja y kommutaattori on ryhmän G alkio [x, y] = x−1y−1xy.[1] Kommutaattorin voidaan ajatella mittaavan eräällä tavalla alkioiden kommutointia.
Ominaisuuksia
Alkioiden x ja y kommutaattori liittyy olennaisesti alkioiden vaihdannaisuuteen, sillä xy = yx[x, y]. Täten alkiot x ja y kommutoivat (eli ovat vaihdannaisia) täsmälleen silloin, kun kommutaattori [x, y] on ryhmän G neutraalialkio.
Suoraan laskemalla voidaan todistaa kommutaattorille seuraavia ominaisuuksia:
Jos A ja B ovat ryhmän G osajoukkoja, niin ryhmän G aliryhmä on joukon
generoima aliryhmä. Aliryhmä
on ryhmän G derivaattaryhmä.[2] Erityisesti ryhmä G on Abelin ryhmä, jos ja vain jos
Lähteet
- Humphreys, John F.: A Course in Group Theory. Oxford: Oxford University Press, 1996. ISBN 0-19-853459-0 (englanniksi)
Viitteet
- ↑ Humphreys, s. 148
- ↑ Humphreys, s. 149