Vlasov voitti raskaassa sarjassa (yli 90 kg) olympiakultaa Roomassa 1960 yhteistuloksella 537,5 kg, joka oli uusi maailmanennätys. Hänen tuloksensa punnerruksessa oli 180 kg, tempauksessa 155 kg ja työnnössä 202,5 kg. Tokion 1964 olympialaisissa hän saavutti hopeaa tuloksella 570 kg häviten Leonid Žabotinskille 2,5 kilon erolla. Vlasov oli paras punnerruksessa tuloksellaan 197,5 kg mutta tempauksellaan 162,5 kg ja työnnöllään 210 kg hän hävisi maanmiehelleen.
Vlasov voitti MM-kilpailujen raskaassa sarjassa kultaa vuosina 1959, 1961, 1962 ja 1963. Hän voitti EM-kultaa raskaassa sarjassa vuosina 1959–1964.
Urheilu-uransa jälkeen Vlasovista tuli tunnettu runoilija. Hän siirtyi myös politiikkaan ja tuli valituksi Duuman jäseneksi vuonna 1993. Hän pyrki Venäjän presidentiksi vuonna 1996, mutta jäi kymmenestä ehdokkaasta toiseksi viimeiseksi ja jätti politiikan.
