Jacobin matriisi

Jacobin matriisi on matriisi, joka kuvaa muunnoksen kahden avaruuden välillä. Se on nimetty saksalaisen matemaatikon Carl Gustav Jacobin mukaan. ^[1]

Koordinaatistomuunnoksen lisäksi Jacobin matriisin merkitys tulee siitä, että se kuvaa annetun funktion parasta lineaarista approksimaatiota annetussa pisteessä, mistä syystä se esiintyy monissa numeerisen matematiikan sovelluksissa. Jacobin matriisilla on myös suuri merkitys dynaamisten systeemien tutkimuksessa, sillä sen avulla voidaan tutkia systeemin dynamiikkaa attraktorin läheisyydessä.

Muunnoksen F : Rⁿ → R^m eli kuvauksen ${\displaystyle n}$-ulotteisesta avaruudesta, jonka koordinaatit ovat ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle m}$-ulotteiseen avaruuteen, jonka koordinaatit ovat ${\displaystyle y_{i}}$ kuvaa Jacobin matriisi

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial y_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial y_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}}$

Huomattakoon erityisesti, ettei Jacobin matriisin tarvitse olla neliömatriisi. Jacobin matriisi merkitään usein kompaktimpaan muotoon

${\displaystyle J={\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{m})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}}$.

Jacobin matriisin determinanttia kutsutaan Jacobin (funktionaali)determinantiksi. Niissä pisteissä, joissa muunnoksen F determinantti eroaa nollasta, kuvaus on kääntyvä eli käänteiskuvaus F^-1 : R^m → Rⁿ on olemassa. Dynamiikkaa tutkittaessa on yleensä kiinnostavaa tietää, eroaako Jacobin determinantti ykkösestä, sillä se kertoo, säilyttääkö systeemi faasiavaruuden tilavuuden.

Esimerkki Jacobin matriisin laskemisesta

Karteesisen koordinaatiston ja napakoordinaatiston välillä on yhteys

${\displaystyle x=r\cos \theta \,}$

${\displaystyle y=r\sin \theta \,}$.

Jacobin matriisin laskemiseksi on laskettava vastaavat osittaisderivaatat

${\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial r}}=\cos \theta }$

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial r}}=\sin \theta }$

${\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial \theta }}=-r\sin \theta }$

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \theta }}=r\cos \theta }$

Näin siis muunnoksen napakoordinaatistosta karteesiseen koordinaatistoon kuvaa matriisi, jossa osittaisderivaatat muuttujan ${\displaystyle r}$ suhteen on sijoitettu ensimmäiseen sarakkeeseen ja osittaisderivaatat muuttujan ${\displaystyle \theta }$ suhteen on sijoitettu toiseen sarakkeeseen

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \end{bmatrix}}}$

Ominaisuuksia

Kenties tärkein ominaisuus Jacobin matriisilla liittyy Jacobin determinantin laskemiseen, mikä puolestaan liittyy integraalien muuttujien vaihtoon. Nimittäin jos F : Rⁿ → Rⁿ on jatkuvasti derivoituva ja injektiivinen jossain avoimessa joukossa ${\displaystyle U}$, joka on Rⁿ osajoukko ja lisäksi kaikkialla täällä joukossa funktion F Jacobin matriisi on kääntyvä, niin jos g : Rⁿ → R on jatkuva joukossa ${\displaystyle U}$, niin

${\displaystyle \int _{F(U)}g(F(x))\,dx_{1}dx_{2}dx_{3}...dx_{n}=\int _{U}g(F(x))*|J(x)|\,dx_{1}dx_{2}dx_{3}...dx_{n}}$

Tässä funktio J on funktion F Jacobin matriisi pisteessä x. Sen determinanttia kutsutaan myös Jacobin determinantiksi.

Yllä esitetyssä esimerkissä on oikeastaan laskettu Jacobin matriisi muuttujanvaihdolle, joka muuttaa polaarikoordinaatit karteesisiksi. Tälle oikeastaan pätee tämä lause, mikä helpottaa useiden kaksiulotteisten integraalien laskemista.

Katso myös

• Hessen matriisi

Lähteet

1. Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013), s. 798–799 (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.