Qvistin vanhemmat olivat Haminan kirkkoherra Karl Johan Qvist (1783–1853) ja Katarina Naht. Hän pääsi ylioppilaaksi Helsingin yksityislyseosta 1857 ja suoritti kemiallis-teknillisiä opintoja Hannoverissa ja Zürichissä.[3][1]
Ernst Edvard Qvistin puoliso oli Anna Franciska Snellman, Helsingin kirkkoherra Frans Arvid Snellmanin tytär. Heidän lapsiaan olivat kuvanveistäjä Gerda Qvist, kemian professori Walter Qvist ja kansakouluntarkastaja Johannes Qvist. Lehtimies Carl Immanuel Qvist oli Ernst Edvard Qvistin veli.[4]