Arrieta oli maanomistajan poika, joka siirtyi 10-vuotiaana hyväosaisen siskonsa hoivaan Madridiin.[2] Hän opiskeli Madridin konservatoriossa[3] ja vuosina 1841–1845 muiden muassa Nicola Vaccain johdolla Milanon konservatoriossa. Milanon konservatoriossa hän ystävystyi säveltäjä Amilcare Ponchiellin kanssa.[2] Vuonna 1845 esitettiin ooppera Ildegonda, joka toi Arrietalle La Scalan sävellyspalkinnon.[3]Libreton kyseiseen kolminäytöksiseen oopperaan laati Temistocle Solera, ja ooppera esitettiin menestyksellä useissa Italian kaupungeissa.[2]
Arrieta pääsi Madridiin palattuaan nopeasti kuningatar Isabella II:n suosioon. Hän sai kuningattarelta useita nimityksiä ja pääsi lopulta Madridin Teatro Realin säveltäjä-ohjaajaksi joulukuussa 1849. Pari kuukautta tätä ennen Teatro Realissa oli esitetty Arrietan Ildegonda-ooppera. Vuonna 1850 Ildegondaa seurasi toinen Arrietan Temistocle Soleran librettoon säveltämä ooppera, La conquista de Granada. Myöhemmin hän sävelsi myös kaikkiaan yli 50[3] zarzuelaa, vaikkakin monet näistä ovat tyylillisesti italialaisvaikutteisempia kuin hänen aikalaistensa vastaavat teokset. Arrietan libretisteihin kuului muiden muassa Antonio García Gutiérrez.[2]
Arrieta opetti Madridin konservatoriossa vuodesta 1857 ja pääsi sen johtajaksi Espanjan vallankumouksen (1868) jälkeen. Hänen johtaviin oppilaisiinsa kuuluivat Ruperto Chapí ja Tomás Bretón.[2] Arrieta pääsi Isabella Katolilaisen ritarikunnan jäseneksi.[3] Arrieta sai aivohalvauksen pari vuotta ennen kuolemaansa kotonaan Madridissa vuonna 1894. Jälkikäteen Arrietan teoksista suosittuna on pysynyt etenkin kolminäytöksinen ooppera Marina (1871).[2] Siitä on tullut yksi esitetyimmistä espanjalaisista oopperoista.[3]
