قضیه تالس (دایره)

این مقاله دربارهٔ قضیهٔ دایره تالس است. برای قضیهٔ تناسب تالس، قضیۀ تالس (تناسب) را ببینید.

قضیه تالس در هندسه این مطلب را بیان می‌کند که اگر A و B و C نقاط روی دایره باشند و خط AC قطر دایره باشد، آن وقت زاویه ABC یک زاویهٔ قائمه خواهد بود. به بیان دیگر مرکز دایره محیطی مثلث روی یکی از اضلاع مثلث قرار می‌گیرد، اگر و تنها اگر آن مثلث قائم‌الزاویه باشد.

تاریخچه

تالس اولین کسی نبود که این قضیه را کشف کرد؛ قبل از او مصریان و بابلیان این قضیه را می‌دانستند ولی تالس آن را اثبات کرد و به نام او نیز معروف شد.

اثبات

اثبات قضیهٔ تالس

فرض کنیم ${\displaystyle O}$ مرکز دایره باشد. آنگاه ${\displaystyle OA=OB=OC}$ و ${\displaystyle \vartriangle OAB}$ و ${\displaystyle \vartriangle OBC}$ متساوی‌الساقین خواهند بود. در نتیجه ${\displaystyle {\widehat {BAO}}={\widehat {ABO}}}$ و ${\displaystyle {\widehat {OCB}}={\widehat {OBC}}}$.

با جابجایی نقطهٔ B روی محیط دایره زاویهٔ B تغییری نمی‌کند و ۹۰ درجه می‌ماند

فرض کنیم ${\displaystyle \alpha ={\widehat {ABO}}}$ و ${\displaystyle \beta ={\widehat {OCB}}}$. چون جمع زوایای داخلی مثلث برابر ۱۸۰ درجه‌است پس:

${\displaystyle {\widehat {OCB}}+{\widehat {ABC}}+{\widehat {BAO}}=2\alpha +2\beta =180^{\circ }\Rightarrow \alpha +\beta =90^{\circ }}$

${\displaystyle {\widehat {ABC}}=\alpha +\beta =90^{\circ }}$

منابع

قضیه تالس | دانشنامهٔ رشد

پیوند به بیرون

اثبات قضیه تالس