حلقه موضعی منظم

در جبر جابجایی، یک حلقه موضعی منظم (به انگلیسی: Regular Local Ring)، حلقه موضعی نوتری است که دارای این خاصیت است که کمترین تعداد مولدهای ایده‌آل ماکسیمالش برابر بعد کرولش است.^[۱] به بیان دقیق‌تر، اگر ${\displaystyle A}$ یک حلقه موضعی نوتری با ایده‌آل ماکسیمال ${\displaystyle m}$ باشد، فرض کنید که ${\displaystyle a_{1},\cdots ,a_{n}}$ مجموعه کمینه (مینیمال) ای از مولدهای ${\displaystyle m}$ باشد. آنگاه قضیه ایده‌آل اصلی کرول بیان می‌دارد که ${\displaystyle n\geq \operatorname {dim} (A)}$، و ${\displaystyle A}$ منظم است اگر ${\displaystyle n=\operatorname {dim} (A)}$.

عنوان منظم برای چنین حلقه‌هایی توسط شهود هندسی آن توجیه می‌شود. یک نقطه ${\displaystyle x}$ روی واریته جبری ${\displaystyle X}$ غیرتکین است اگر و تنها اگر حلقه موضعی ${\displaystyle O_{X,x}}$ از جرم‌ها در ${\displaystyle x}$ منظم باشد (رجوع کنید به: اسکیم منظم). حلقه‌های منظم به حلقه‌های منظم فون نویمن ارتباطی ندارند.^[الف]

برای حلقه‌ها موضعی نوتری، زنجیره شمول زیر برقرار است:

حلقه‌های کتناری ⊃ حلقه‌های کوهن-مکالی ⊃ حلقه‌های گورنشتاین ⊃ حلقه‌ها اشتراک کامل ⊃ حلقه‌های موضعی منظم

یادداشت‌ها

1. یک حلقه منظم فون نویمان موضعی حلقه تقسیم است، بنابر این دو شرط مذکور خیلی با هم سازگار نیستند.

ارجاعات

1. Atiyah & Macdonald 1969, p. 123, Theorem 11.22.

منابع

• Atiyah, Michael F.; Macdonald, Ian G. (1969), Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, MR 0242802
• Kunz, Characterizations of regular local rings of characteristic p. Amer. J. Math. 91 (1969), 772–784.
• Jean-Pierre Serre, Local algebra, Springer-Verlag, 2000, ISBN 3-540-66641-9. Chap.IV.D.
• Tsit-Yuen Lam, Lectures on Modules and Rings, Springer-Verlag, 1999, ISBN 978-1-4612-0525-8. Chap.5.G.
• Regular rings at The Stacks Project