حدس کرامر

قضیه کرامر نام قضیه‌ای است در ریاضیات که توسط هارالد کرامر در سال ۱۹۳۶ مطرح شده است.

قضیه

اگر ${\displaystyle p_{n}}$ n امین عددِ اول باشد، آن‌گاه:

${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}=O((\log p_{n})^{2}),\ }$

یا به‌عبارتی

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{(\log p_{n})^{2}}}=1,}$

تلاش‌ها برای اثبات

در سال ۱۹۵۰، دنیل شانک فرضیه‌ای قوی‌تر از قضیهٔ کرامر را مطرح کرد. او این طور قضیهٔ کرامر را بررّسی کرد و بیان کرد اگر قضیه کرامر درست باشد، آن‌گاه:

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{(\log p_{n})^{2}}}=c,}$ with ${\displaystyle c=1.}$

او گفت: ممکن نیست ثابت c برای همهٔ اعداد اوّل اعمال شود، بنابراین او برای اعداد اوّل کوچک حدس زد:

${\displaystyle c\geq 2e^{-\gamma }\approx 1.1229\ldots }$

که در آن ${\displaystyle \gamma }$ ثابتِ اویلر است.

منابع

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Cramér's conjecture». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.