مرکزساز و نرمال‌ساز

در ریاضیات، بخصوص در نظریه گروه‌ها، مرکزساز (همچنین به آن جابجاگر هم می گویند^[۱][۲]) یک زیر مجموعه ${\displaystyle S}$ از گروهی چون ${\displaystyle G}$، مجموعه تمام عناصر ${\displaystyle G}$ است که با هر کدام از عناصر ${\displaystyle S}$ جابجا می شود، و نرمال‌ساز یک مجموعه چون ${\displaystyle S}$ عناصری اند که در شرط ضعیف تری صدق می کنند. مرکزساز و نرمال‌ساز ${\displaystyle S}$ زیرگروه‌هایی از ${\displaystyle G}$ اند و می توانند در فهم ساختار ${\displaystyle G}$ کمک کنند.

این تعاریف به مونوئیدها و نیم‌گروه‌ها نیز قابل اعمال اند.

در نظریه حلقه‌ها، مرکزساز یک زیرمجموعه از یک حلقه بر اساس عملگر (ضربی) نیم‌گروه حلقه تعریف می شود. مرکزساز یک زیرمجموعه از یک حلقه ${\displaystyle R}$ زیر حلقه ای از ${\displaystyle R}$ است. این مقاله همچنین با مرکزسازها و نرمال‌سازهای جبر لی نیز نیز سروکار خواهد داشت.

ایده‌آل‌ساز در یک نیم‌گروه یا حلقه سازه دیگری است که از جهاتی شبیه مرکزساز و نرمال‌ساز می باشد.

تعاریف

گروه و نیم‌گروه

مرکزساز یک زیرمجموعه ${\displaystyle S}$ از یک گروه (یا نیم‌گروه) ${\displaystyle G}$ به این صورت تعریف شده است^[۳]:

${\displaystyle \mathrm {C} _{G}(S)=\{g\in G\mid gs=sg{\text{ for all }}s\in S\}.}$

مواقعی که هیچ ابهامی در مورد گروه مورد نظر در مسئله وجود نداشته باشد، حرف ${\displaystyle G}$ در نماد مرکزساز به کل حذف می شود. زمانی که ${\displaystyle S={a}}$ یک تک عضوی باشد، آنگاه ${\displaystyle C_{G}({a})}$ را می توان به صورت ${\displaystyle C_{G}(a)}$ خلاصه کرد. نماد دیگری که برای مرکزساز کمتر رایج است ${\displaystyle Z(a)}$ بوده که برای نماد مرکز گروه هم به کار می رود. کسی که از نماد اخیر برای مرکزساز استفاده می کند باید مراقب باشد تا مرکز گروه ${\displaystyle G}$ یعنی ${\displaystyle Z(G)}$ را با مرکزساز عضو ${\displaystyle g}$ در ${\displaystyle G}$ که به صورت ${\displaystyle Z(g)}$ ممکن است نوشته شود خلط نکرده و بینشان تمایز قائل شود.

نرمال‌ساز ${\displaystyle S}$ در گروه (یا نیم‌گروه) ${\displaystyle G}$ به این صورت تعریف می شود:

${\displaystyle \mathrm {N} _{G}(S)=\{g\in G\mid gS=Sg\}.}$

تعاریف این دو مشابه اند اما یکی نیستند. اگر ${\displaystyle g}$ مرکزساز ${\displaystyle S}$ و ${\displaystyle s}$ در ${\displaystyle S}$ باشد، آنگاه ممکن است ${\displaystyle gs=sg}$ باشد اما اگر ${\displaystyle g}$ در نرمال‌ساز قرار داشته باشد آنگاه برای یک ${\displaystyle t}$ در ${\displaystyle S}$ داریم ${\displaystyle gs=tg}$ که در آن ${\displaystyle t}$ قویاً با ${\displaystyle s}$ متفاوتست. یعنی عناصر مرکزساز ${\displaystyle S}$ باید به صورت نقطه ای با ${\displaystyle S}$ جابجا شوند، اما عناصر نرمال‌ساز ${\displaystyle S}$ الزاماً تنها با ${\displaystyle S}$ به عنوان یک مجموعه جابجا می شوند. همان قرارداد در مورد حذف نماد ${\displaystyle G}$ و حذف آکولاد برای مجموعه تک عضوی در مرکزساز، برای نرمال‌ساز هم صدق می کند. نرمال‌ساز را نباید با بستار نرمال اشتباه گرفت.

یادداشت‌ها

1. Kevin O'Meara; John Clark; Charles Vinsonhaler (2011). Advanced Topics in Linear Algebra: Weaving Matrix Problems Through the Weyr Form. Oxford University Press. p. 65. ISBN 978-0-19-979373-0.
2. Karl Heinrich Hofmann; Sidney A. Morris (2007). The Lie Theory of Connected Pro-Lie Groups: A Structure Theory for Pro-Lie Algebras, Pro-Lie Groups, and Connected Locally Compact Groups. European Mathematical Society. p. 30. ISBN 978-3-03719-032-6.
3. Jacobson (2009), p. 41

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Centralizer and Normalizer». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۳۰ اوت ۲۰۱۹.

منابع

• Isaacs, I. Martin (2009), Algebra: a graduate course, Graduate Studies in Mathematics, vol. 100 (reprint of the 1994 original ed.), Providence, RI: American Mathematical Society, doi:10.1090/gsm/100, ISBN 978-0-8218-4799-2, MR 2472787
• Jacobson, Nathan (2009), Basic Algebra, vol. 1 (2 ed.), Dover Publications, ISBN 978-0-486-47189-1
• Jacobson, Nathan (1979), Lie Algebras (republication of the 1962 original ed.), Dover Publications, ISBN 0-486-63832-4, MR 0559927