ایده‌آل اول

نمودار هسه (به انگلیسی: Hesse Diagram) بخشی از شبکه ایده‌آل های اعداد صحیح ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. گره های بنفش نشانگر ایده‌آل های اولند. گره های بنفش و سبز نشانگر ایده‌آل های نیم-اول (به انگلیسی: semi-Prime Ideals)، و گره های بنفش و آبی نشانگر ایده‌آل های اولیه (به انگلیسی: Primary Ideals).

در جبر، یک ایده‌آل اول زیر مجموعه ای از یک حلقه است که در خواص مهمی با اعداد اول در حلقه اعداد صحیح مشترک است.^[۱][۲] ایده‌آل های اول برای اعداد صحیح مجموعه هایی هستند که شامل تمام ضرایب یک عدد اول اند. ایده‌آل صفر نیز در اعداد صحیح یک ایده‌آل اول است.

ایده‌آل های ابتدایی (به انگلیسی: Primitive Ideals) نیز اول اند. همچنین ایده‌آل های اول، هم اولیه (به انگلیسی: Primary) هستند هم نیم-اول (به انگلیسی: Semiprime).

ایده‌آل های اول در حلقه های جابجایی

یک ایده‌آل ${\displaystyle P}$ از حلقه جابجایی ${\displaystyle R}$ اول است اگر دارای این دو خاصیت باشد:

• اگر ${\displaystyle a}$ و ${\displaystyle b}$ دو عضو ${\displaystyle R}$ باشند به گونه ای که ${\displaystyle ab}$ عضوی از ${\displaystyle P}$ باشد، آنگاه حداقل یکی از ${\displaystyle a}$ یا ${\displaystyle b}$ در ${\displaystyle P}$ قرار دارند.
• ${\displaystyle P}$ برابر کل حلقه ${\displaystyle R}$ نیست.

این مفهوم تعمیم دهنده ی این خاصیت از اعداد اول است: اگر ${\displaystyle p}$ یک عدد اول باشد و ${\displaystyle p}$ حاصلضرب دو عدد صحیح ${\displaystyle ab}$ را بشمارد، آنگاه یا ${\displaystyle p}$ عدد ${\displaystyle a}$ را می شمارد یا ${\displaystyle b}$ را. لذا می توان گفت:

یک عدد صحیح ${\displaystyle n}$ اول است اگر و تنها اگر ${\displaystyle n\mathbb {Z} }$ ایده‌آل اولی در ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ باشد.

پانویس

1. Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (3rd ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9.
2. Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 0-387-95385-X.

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Prime Ideal». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.

برای مطالعه بیشتر

• Goodearl, K. R.; Warfield, R. B., Jr. (2004), An introduction to noncommutative Noetherian rings, London Mathematical Society Student Texts, vol. 61 (2 ed.), Cambridge: Cambridge University Press, pp. xxiv+344, doi:10.1017/CBO9780511841699, ISBN 0-521-54537-4, MR 2080008
• Jacobson, Nathan (1989), Basic algebra. II (2 ed.), New York: W. H. Freeman and Company, pp. xviii+686, ISBN 0-7167-1933-9, MR 1009787
• Kaplansky, Irving (1970), Commutative rings, Boston, Mass.: Allyn and Bacon Inc., pp. x+180, MR 0254021
• Lam, T. Y. (2001), A first course in noncommutative rings, Graduate Texts in Mathematics, vol. 131 (2nd ed.), New York: Springer-Verlag, pp. xx+385, doi:10.1007/978-1-4419-8616-0, ISBN 0-387-95183-0, MR 1838439, Zbl 0980.16001
• Lam, T. Y.; Reyes, Manuel L. (2008), "A prime ideal principle in commutative algebra", J. Algebra, 319 (7): 3006–3027, doi:10.1016/j.jalgebra.2007.07.016, ISSN 0021-8693, MR 2397420, Zbl 1168.13002
• "Prime ideal", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]