Kiivet töötas Tartu Riikliku Ülikooli farmakoloogia instituudis stažöör-uurijana ning assistendina, hiljem dotsendina. Seejärel oli ta aastail 1992–2006 ravimiameti nõunik.
Aastail 2001–2007 oli Kiivet Tartu Ülikooli kliinikumi nõukogu liige ning 1996. aastast kuni surmani arstiteaduskonna tervishoiukorralduse õppetooli professor. Ta on töötanud ka Tartu Ülikooli arstiteaduskonna residentuuri prodekaanina.
Aastatel 1998–2015 oli ta samal ajal ka Tartu Ülikooli tervishoiuinstituudi juht.
