Aastatel 2015–2020 mängis Suter Šveitsi kõrgliigaklubis ZSC Lions. 2018. aastal tuli ta Lionsiga Šveitsi meistriks. Hooajal 2019/20 oli Suter Šveitsi kõrgliigas resultatiivseim mängija (30+23) ning valiti liigahooaja parimaks ründajaks ja väärtuslikumaks mängijaks.[1]
2020. aasta juulis sõlmis Suter üheaastase lepingu NHL-i klubiga Chicago Blackhawks.[2] NHL-is debüteeris ta 13. jaanuaril 2021 mängus Tampa Bay Lightningi vastu. Sama aasta 24. jaanuaril lõi ta oma esimese värava ja tegi kübaratriki mängus Detroit Red Wingsi vastu. Sellega sai Suter Blackhawksi ajaloo teiseks mängijaks, kes on oma NHL-i kolm esimest väravat löönud ühes mängus.[3] Hooajal 2020/21 lõi Suter NHL-is kokku 14 väravat ja andis 13 väravasöötu.
2021. aasta juulis sõlmis ta kaheaastase lepingu Detroit Red Wingsiga.[4] Hooajal 2021/22 lõi Suter NHL-is 15 väravat ja andis 21 väravasöötu. 2023. aasta augustis sõlmis ta kaheaastase lepingu Vancouver Canucksiga.[5]
