Jalgpalli hakkas ta mängima kodulinnaklubis Konini Aluminium. 2005. aastal liitus ta Poznańi Lechi noortesüsteemiga. Poznańi Lechi meeskonnas tegi ta Poola kõrgliigas debüüdi 2009. aasta novembris. Klubi põhikoosseisu kuulus ta alates hooajas 2011/12. Hooaegadel 2009/10 ja 2014/15 tuli ta Poznańi Lechiga Poola meistriks.
Alates hooajast 2016/17 mängis Kamiński Saksamaa klubis VfB Stuttgart. Hooaegadel 2017/18 ja 2020/21 mängis ta klubiga Saksamaa kõrgliigas. Hooajal 2018/19 oli ta Stuttgardist laenul Saksamaa kõrgliigaklubis Düsseldorfi Fortuna.
2021. aasta mais sõlmis ta lepingu Schalkega.[1] Hooajal 2021/22 tuli ta klubiga Saksamaa esiliiga võitjaks ning hooajal 2022/23 mängiti Bundesligas. Kamiński lõi sel hooajal Bundesligas kaks väravat – 14. aprillil 2023 mängus Hertha BSC vastu ja 27. mail 2023 hooaja viimases mängus RB Leipzigi vastu.
