Lineaarvõrrand ehk esimese astme võrrand on elementaaralgebras võrrand, mis saadakse kahe lineaarfunktsiooni võrrutamisel, näiteks
- 3x + y – 5 = –7x +4y + 3
- 2x – 3y + 1 = 3
- x + 2y + 1 = 2x
- –4x – 3 = x + 1
- 6x + y – z + 1 = 3x + z
Lineaarvõrrandis on kummalgi poolel polünoomid, milles kõik tundmatud on kas astmes 1 või astmes 0, kusjuures vähemalt üks tundmatu esineb astmes 1. Lineaarvõrrandis ei tohi muuhulgas sisaldada tundmatute astmeid (välja arvatud esimene aste) ja omavahelisi korrutisi, näiteks ei tohi seal sisalduda liiget kujuga x2.
Järgmised võrrandid ei ole lineaarvõrrandid:
- 2x – x = 3
- x2 – x – 1 = 2x
- sin x – 2x – 1 = 2
- |x| – 1 = 0
- 2x – 3y2 + 1 = 3
Võib rääkida ka võrrandi lineaarsusest teatud tundmatute suhtes: see tähendab, et need tundmatut esinevad võrrandis astmes 1. Näiteks võrrand 2x – 3y2 + 1 = 3 on lineaarne tundmatu x suhtes, kuid ei ole lineaarne tundmatu y suhtes.
Lihtne lineaarvõrrand on näiteks
- y = 3x.
Selle võrrandi graafik on sirge. Sellest tulenebki lineaarvõrrandi nimetus.
Mis tahes lineaarvõrrandit tundmatutega (muutujatega) x ja y saab viia kujule
- y = ax + b
konstantidega a ja b või siis kujule
- x = c või 0 = 0.
Viimased kaks kuju vastavad erandjuhtudele, kus funktsiooni graafik on vertikaalne y-teljega paralleelne sirge või hõlmab kogu tasandi.
Muutujaid võib olla ka üle kahe. Kui võrrandeid on korraga mitu (moodustavad võrrandisüsteemi), siis on tegemist lineaarvõrrandite süsteemiga.
Seos lineaarfunktsioonide ja lineaarsete operaatoritega
Ülaltoodud näites (kuid mitte mainitud erandjuhtudel) on muutuja y muutuja x funktsioon ning selle funktsiooni graafik on võrrandi graafik.
Rakendustes esinevad sageli võrrandid kujul
- y = f(x),
kus funktsioonil f on järgmised omadused:
- f(x+y) = f(x)+f(y);
- f(ax) = af(x),
kus a on skalaar.
Neid omadusi rahuldavat funktsiooni nimetatakse lineaarfunktsiooniks või lineaarseks operaatoriks.
Ülaltoodud omaduste (lineaarsuse) tõttu saab seda laadi lineaarvõrrandi lahendeid üldjuhul esitada sama võrrandi lahendite lineaarfunktsioonina. See teeb lineaarvõrrandite lahendamise ja käsitlemise eriti lihtsaks.
Lineaarvõrrandid esinevad rakendusmatemaatikas väga sageli. Nad võivad tekkida paljude nähtuste modelleerimisel, kuid eriline tähtsus on neil mittelineaarsete võrrandite lahendamisel: neid saab lähendada lineaarvõrranditega.
Vaata ka
