Koolihariduse omandas Tüür Pärnu Ühisgümnaasiumis, seejärel õppis ta Tartu Ülikoolis ajalugu ja politoloogiat. 2001. aastal kaitses ta bakalaureusekraadi (väitekiri "Piiriülene koostöö: Eesti-Vene näide", juhendaja Kaido Jaanson).
Tüür on Akadeemilise Balti ja Vene Uuringute Keskuse asutaja (aastast 1997) ja juht, samuti töötab ta Tartu Ülikooli riigiteaduste instituudis. Varem on ta töötanud Riiklikus Kultuurimälestiste Projekteerimise Instituudi Pärnu grupis ja Sütevaka Seltsis.
Ta on olnud Rahvusvaheliste Suhete Ringi akadeemiline juhendaja ning toimetanud selle artiklikogumikke alates 2005. aastast, samuti ABVKeskuse lühiajalisi prognoose Venemaa teemal alates 2000. aastast.
Karmo Tüür on Pärnu õlleklubi Gambrinus asutaja (aastal 1991) ning selle esimene ja ka praegune president.
