Cork liitus üheksa-aastaselt Chelsea noorteakadeemiaga ning mängis klubi noortevõistkondades, kuid klubi põhimeeskonnas tal debüüti teha ei õnnestunud. Aastatel 2006–2011 oli ta laenul kokku kuues Inglismaa klubis: Bournemouth, Scunthorpe United, Southampton, Watford, Coventry City ja Burnley. Premier League'is tegi ta debüüdi 9. veebruaril 2010 mängus Fulhami vastu. Esimese värava Inglismaa kõrgliigas lõi ta hooaja viimases mängus 9. mail 2010 Tottenham Hotspuri vastu. Burnley lõpetas hooaja 18. kohaga ja langes esiliigasse. Ka järgmise hooaja veetis ta Burnleys laenul.
7. juulil 2011 sõlmis ta lepingu esiliigaklubiga Southampton.[1] Hooajal 2011–12 oli ta ainus Southamptoni mängija, kes tegi kaasa kõigis liiga 38 mängus. Southampton lõpetas hooaja teise kohaga ja pääses kõrgliigasse. Southamptoni meeskonnas mängis ta Premier League'is järgmised kaks ja pool hooaega. 2015. aasta jaanuaris sõlmis ta lepingu teise Premier League'i klubi, Swansea Cityga.[2] Burnleys mängib ta alates hooajast 2017–18.[3]
