Neil kahel joonisel on skalaarväli hall ning gradient on tähistatud siniste nooltega. Tumedad alad on seotud suuremate ja valged alad väiksemate välja väärtustega Gradient (ladina sõnast gradiens 'sammuv') on ruumilise muutumise kiirus , s.t see väljendab suuruse muutust pikkusühiku kohta.
Vektorarvutuses tähistatakse suuruse
f
{\displaystyle {f}}
grad
f
{\displaystyle {\mbox{grad}}\,f}
∇ ∇ -->
f
{\displaystyle \nabla f}
∇ ∇ -->
{\displaystyle \nabla }
nabla-operaator ).
Skalaarvälja gradient on vektorväli, kus vektori pikkus on ruumilise muutumise kiirus ning vektori suunaks on maksimaalse kasvu suund.
Gradiendi mõiste on laialdaselt kasutusel nii matemaatikas endas kui ka füüsikas , keemias jm. Näiteks elektrostaatilise välja
E
→ → -->
{\displaystyle {\vec {E}}}
E
→ → -->
=
− − -->
grad
φ φ -->
{\displaystyle {\vec {E}}=-{\text{grad}}\,\varphi }
kus
φ φ -->
{\displaystyle \varphi }
elektrivälja potentsiaal .[ 1]
Ristkoordinaatides
Kolmemõõtmelistes eukleidilises ruumis ristkoordinaatides avaldub tema olemasolul gradient vastavalt:
∇ ∇ -->
f
=
∂ ∂ -->
f
∂ ∂ -->
x
i
→ → -->
+
∂ ∂ -->
f
∂ ∂ -->
y
j
→ → -->
+
∂ ∂ -->
f
∂ ∂ -->
z
k
→ → -->
,
{\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial x}}{\vec {i}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\vec {j}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\vec {k}},}
kus
i
→ → -->
,
j
→ → -->
,
k
→ → -->
{\displaystyle {\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}}}
x
,
y
,
z
{\displaystyle x,y,z}
∂ ∂ -->
f
/
∂ ∂ -->
x
,
∂ ∂ -->
f
/
∂ ∂ -->
y
,
∂ ∂ -->
f
/
∂ ∂ -->
z
{\displaystyle \partial f/\partial x,\partial f/\partial y,\partial f/\partial z}
f
{\displaystyle f}
osatuletised
x
,
y
,
z
{\displaystyle x,y,z}
f
(
x
,
y
,
z
)
=
2
x
+
3
y
2
− − -->
sin
-->
(
z
)
{\displaystyle f(x,y,z)=2x+3y^{2}-\sin(z)}
gradient on
∇ ∇ -->
f
=
2
i
→ → -->
+
6
y
j
→ → -->
− − -->
cos
-->
(
z
)
k
→ → -->
.
{\displaystyle \nabla f=2{\vec {i}}+6y{\vec {j}}-\cos(z){\vec {k}}.}
Vaata ka
Viited
