Diferentsiaaloperaator

Diferentsiaaloperaator on matemaatikas operaator, mida saab avaldada diferentseerimisoperaatorite kaudu.

Diferentsiaaloperaatorid võivad olla lineaarsed või mittelineaarsed operaatorid. Antud artiklis keskendutakse lineaarsetele diferentsiaaloperaatoritele.

Tähistused

Tuntuim diferentsiaaloperaator on arvatavasti diferentseerimisoperaator, mis seab funktsioonile vastavusse selle tuletise (või osatuletise). Kasutatakse järgmiseid tähistusi:

${\displaystyle {d \over dx}}$,

${\displaystyle D,\,}$ kui on selge, millise muutuja suhtes tuletis võetakse,

${\displaystyle D_{x},\,}$, kui soovitakse rõhutada, et tuletis võetakse muutuja x suhtes. Sel juhul on enamasti tegu osatuletisega x suhtes.

Ülal kirjeldati esimest järku tuletisi, n-järku tuletisi tähistatakse järgmiselt:

${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}},\,D^{n},\,D_{x}^{n}.\,}$

Tähistust D seostatakse Oliver Heaviside'i nimega, kes vaatles diferentsiaaloperaatoreid kujul

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}c_{k}D^{k}}$,

kui ta diferentsiaalvõrrandeid uuris.

Tuntumate osatuletisi sisaldavate operaatorite seas on nabla-operaator, mis on defineeritud kui

${\displaystyle \nabla =\sum _{i=1}^{n}{\vec {e}}_{i}{\partial \over \partial x_{i}}}$,

kus ${\displaystyle \{{\vec {e}}_{i}:1\leq i\leq n\}}$ on vaadeldava ruumi baas, ja Laplace'i operaator:

${\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}=\sum _{i=1}^{n}{\partial ^{2} \over \partial x_{i}^{2}}.}$.

Veel üks näide diferentsiaaloperaatorist on Θ operaator ehk teetaoperaator, mis on defineeritud kui ^[1]

${\displaystyle \Theta =z{d \over dz}.}$

Diferentsiaaloperaatorite omadused

Diferentseerimine on lineaarne, st

${\displaystyle D(f+g)=(Df)+(Dg)\,}$

${\displaystyle D(af)=a(Df)\,}$

kus f ja g on funktsioonid ja a on konstant.

Iga polünoom, mille argumendiks on D ja mille kordajateks on funktsioonid, st

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}f_{k}D^{k}}$,

on samuti lineaarne diferentsiaaloperaator. Nii konstrueeritud diferensiaaloperaatorite järjestikune rakendamine,

${\displaystyle (D_{1}\circ D_{2})(f)=D_{1}(D_{2}(f)),\,}$

annab samuti diferentsiaaloperaatori. Seejuures tuleb tähele panna, et funktsioonid, millele operaatorit rakendatakse nii mitu korda diferentseeruvad oleks, kui mitu korda vastavaid operaatoreid rakendatakse. Rakendades neid operaatoreid lõputult diferentseeruvatele funktsioonidele moodustavad need operaatorid tehte ${\displaystyle \circ }$ suhtes ringi, kusjuures korrutamine ${\displaystyle \circ }$ pole kommutatiivne. Näitena võib tuua seose

${\displaystyle Dx-xD=1,\,}$

mida kohtab tihti kvantmehaanikas.

Kaasoperaator

 Pikemalt artiklis Kaasoperaator

Olgu antud lineaarne operaator T:

${\displaystyle Tu=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(x)D^{k}u}$.

Selle operaatori kaasoperaatoriks nimetatakse sellist operaatorit T*, mis rahuldab seost

${\displaystyle \langle Tu,v\rangle =\langle u,T^{*}v\rangle }$

kus ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ tähistab skalaarkorrutist. Kaasoperaatori kuju sõltub seega sellest, kuidas on defineeritud skalaarkorrutis.

Rakendusnäiteid

• Füüsikas kasutatakse diferentsiaaloperaatoreid, nagu Laplace'i operaator, erinevate osatuletistega diferentsiaalvõrrandite koostamisel ja lahendamisel. Kvantmehaanikas esitatakse diferentsiaaloperaatorite abil erinevaid füüsikalisi suuruseid (ehk vaadeldavaid).

• Üldalgebras antakse tuletise mõistele puhtalgebraline kuju ning diferentsiaaloperaatoritest saab rääkida matemaatilist analüüsi kasutamata. Neid üldistusi rakendatakse tihti algebralises geomeetrias ja kommutatiivses algebras.

Vaata ka

• Diferentsimisoperaator
• Lineaarne diferentsiaalvõrrand

Viited

1. E. W. Weisstein. "Theta Operator". Vaadatud 12.06.2009.