Afiinne ruum ehk lineaarne muutkond on ruum on matemaatiline ruum, mille punktide vahelised seosed on määratud igale punktide järjestatud paarile vastavusse seotud vektoriga (mingi vektorruumielemendiga) nii, et tekivad samalaadsed seosed vektorite ja punktide vahel nagu tavalises geomeetrias.
Tavaline ruum on vaadeldav afiinse ruumina, punktide järjestatud paarile seatakse vastavusse vektor (eukleidilise ruumi kui vektorruumi element), mis "viib" esimesest punktist teise.
Laiemas mõttes võib afiinsel ruumil olla mis tahes lõplik mõõde. Afiinne ruum võib olla ka punkt, afiinne sirge, afiinne tasand või siis nelja- või enamamõõtmeline ruum.
Afiinne ruum lineaaralgebras
Definitsioon
Afiinne ruum üle korpuse on hulk (mille elemente nimetatakse punktideks ja käsitatakse geomeetriliselt punktidena) koos kujutusega hulgast teatud kindlasse vektorruumi üle korpuse (see kujutus seab igale punktide järjestatud paarile (; ) vastavusse vektori (vektorruumi elemendi) ning nimetatakse vektoriks algusega punktis P ja lõpuga punktis Q või punktide P ja Qühendusvektoriks), nii et
iga punkti ja vektori korral leidub parajasti üks punkt nii, et
Järjestatud kolmikut nimetatakae afiinseks ruumiks. Kui on selge, milline vektorruum ja milline noolekujutus on aluseks, räägitakse ka lihtsalt afiinsest ruumist .
Korpuseks on sageli reaalarvude korpus.
Lükked
Afiinses ruumis on liitmine kui kujutus defineeritud sellega, et on just vektoriga üheselt määratud punkt . Kindla korral nimetatakse juurdekuuluvat kujutust lükkeks ehk täpsemalt lükkeks vektori võrra ja vektorit nimetatakse siis juurdekuuluvaks lükkevektoriks.
Et , siis kirjutatakse sageli ka asemel . Siis parajasti siis, kui .
Afiinne alamruum
Kui on üks kindel punkt ruumis ja on vektorruumi alamvektorruum, siis afiinne alamruum ehk afiinne osaruum. Afiinse osaruumi juurde kuuluv alamvektorruum on osaruumiga üheselt määratud.
Vektorruumiga afiinse ruumi üle korpuse on defineeritud kui vektorruumi üle mõõde (Hameli mõõde). Sageli on mugav pidada ka tühihulka afiinseks (osa)ruumiks. Sellele osaruumile omistatakse mõõde –1.
Afiinne punktiruum ja selle vastav vektorruum
Kui valida afiinses ruumis kindel alguspunkt , saadakse kujutuse abil, mis seab igale punktile vastavusse lükke punkti kohavektori, eine üksühene kujutus afiinse ruumi ja tema lükete vektorruumi (rihiruumi ehk sihiruumi) vahel. Seejuures tuleb tähelepanna, et see punktide ja kohavektorite vaheline vastavus sõltub alguspunkti valikust.
Ümberpöördult saab iga vektorruumi vaadelda afiinse punktiruumina: , kus , on kujujutus, mis seab punktide järjestatud paarile vastavusse nende ühendusvektori. Sellega eraldatakse üks afiinse ruumi punkt ette välja, nimelt vektorruumi nullvektor.
Esimesel juhtumil saab pärast punkti samastamist tema kohavektoriga (sõltuvalt alguspunkti valikust, teisel juhtumil juba ette käsitada liitmist vektorruumis s nii, et rühmtoimib lükete rühmana iseendale kui punktihulgale.
Sellepärast loobutakse mõnikord rangest eristusest afiinse punktiruumi ja lükkevektorite vektorruumi vahel.