Vértice (geometría)

En geometría, un vértice es el punto donde se encuentran dos o más elementos unidimensionales (curvas, vectores, rectas, semirrectas o segmentos).

Definición

Como consecuencia de la definición anterior, en el punto de encuentro de dos de estos elementos unidimensionales se forma un ángulo. Las esquinas de los polígonos y poliedros son vértices.

Vértice de un ángulo

El vértice de un ángulo es el punto donde los dos segmentos de línea se unen. El vértice de un ángulo es el punto donde confluyen o se cruzan dos rectas, semirrectas o segmentos.^[1]​ Estrictamente hablando, el punto donde se cruzan dos curvas no genera un ángulo, pero generalmente es posible calcular el ángulo entre las rectas tangentes a cada curva en el punto de cruce (usando cálculo diferencial).

El cálculo diferencial permite aproximar un ángulo en el vértice de intersección entre dos curvas.

Vértices principales de un polígono

Verde: Vértices tipo oreja. Azul: Vértices tipo boca. Rojo: Ni boca ni oreja.

El vértice ${\displaystyle x_{i}}$ de un polígono simple P es un vértice principal si la diagonal entre los dos vértices vecinos ${\displaystyle [x_{(i-1)},x_{(i+1)}]}$ no corta la frontera de P salvo en los extremos ${\displaystyle x_{(i-1)}}$ y ${\displaystyle x_{(i+1)}}$. Atendiendo a si dicha diagonal es interna o externa al polígono P, podemos clasificar los vértices principales en:^[2]​ ^[3]​

• Orejas: Se dice que el vértice ${\displaystyle x_{i}}$ de un polígono simple P es una oreja del polígono si la diagonal ${\displaystyle [x_{(i-1)},x_{(i+1)}]}$ se encuentra totalmente dentro de P. El ángulo interior de un vértice tipo oreja es siempre agudo, y por lo tanto el vértice es convexo. Todos los vértices de un polígono convexo son de tipo oreja.

• Bocas: Se dice que el vértice ${\displaystyle x_{i}}$ de un polígono simple P es una boca del polígono si la diagonal ${\displaystyle [x_{(i-1)},x_{(i+1)}]}$ se encuentra fuera de los límites de P. El ángulo interior de un vértice tipo boca es siempre obtuso, y dicho vértice es cóncavo. Todo polígono cóncavo tiene al menos un vértice tipo boca y al menos dos vértices de tipo oreja (ver Teorema de las dos orejas).^[3]​

Hay que tener en cuenta que no todos los vértices de un polígono son siempre de tipo boca o oreja, puesto que es posible que la diagonal de los vecinos corte al polígono.^[4]​

Vértices en gráficos de computador

En gráficos de computadora, los objetos se representan a menudo como poliedros triangulares en los que los vértices de objetos se asocian con coordenadas espaciales, y frecuentemente con otro tipo de información gráfica como colores, las propiedades de reflexión, texturas y normales de la superficie; estas propiedades se utilizan en la prestación de un vertex shader.

Véase también

• Vértice (teoría de grafos)
• Característica de Euler

Referencias y enlaces externos

1. Heath, Thomas L. (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements (2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925] edición). New York: Dover Publications. 

   (3 vols.): ISBN 0-486-60088-2 (vol. 1), ISBN 0-486-60089-0 (vol. 2), ISBN 0-486-60090-4 (vol. 3).

2. Devadoss, Satyan; O'Rourke, Joseph (2011). Discrete and Computational Geometry. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-14553-2. 
3. Meisters, G. H. (1975), «Polygons have ears», The American Mathematical Monthly 82: 648-651, MR 0367792, doi:10.2307/2319703 ..
4. Un ejemplo sencillo es el polígono de esta imagen. Los vértices rojos no son de tipo boca ni oreja porque la diagonal de sus vértices vecinos corta al polígono.

• Weisstein, Eric W. «Polygon Vertex». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric W. «Polyhedron Vertex». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric W. «Principal Vertex». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

• Datos: Q26401