Valor absoluto ultramétrico

Un valor absoluto ultramétrico es una aplicación de un cuerpo K en el conjunto ℝ₊ de los números reales positivos verificando las siguientes tres propiedades:^[1]​

• ${\displaystyle |x|=0_{\mathbb {R} }\iff x=0_{K}}$ (axioma de separación);
• ${\displaystyle |xy|=|x||y|}$ (homomorfismo de grupos multiplicativo de K* sobre ℝ₊*)
• ${\displaystyle |x+y|\leq \max(|x|,|y|)}$ (desigualdad ultramétrica)

cualesquiera que sean los elementos ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ de K.

Ejemplos

Valor absoluto trivial

El valor absoluto trivial de K asocia con 0 el valor 0 y el valor 1 con cualquier otro elemento de K.

Es el valor absoluto ultramétrico asociado con la valoración trivial en K.

Valor p-ádico absoluto

Sea un número primo arbitrario ${\displaystyle p}$. Se puede escribir de forma única cualquier número racional ${\displaystyle r}$ en la forma:

${\displaystyle r=p^{k}{\frac {a}{b}}}$ donde ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ y donde ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$ son primos entre sí y primos con respecto a ${\displaystyle p}$.

Entonces se define la aplicación asociando el valor ${\displaystyle r}$ con un número racional ${\displaystyle |r|_{p}=p^{-k}}$. Por ejemplo,

${\displaystyle \left|{\frac {21}{4}}\right|_{2}=4,~\left|{\frac {15}{7}}\right|_{2}=1{\text{ y }}\left|{\frac {60}{11}}\right|_{2}={\frac {1}{4}}.}$

Esta aplicación es un valor absoluto ultramétrico en el cuerpo ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, asociado con la valoración p ádica.

Vínculos con nociones relacionadas

• Esta aplicación es un caso especial de valor absoluto sobre un cuerpo.
• La aplicación d : (x, y) ↦ |y – x| es en consecuencia una distancia en K; la simetría se debe al hecho de que ${\displaystyle |-x|=|x|}$ para cualquier elemento ${\displaystyle x}$ de K.
• Esta distancia es ultramétrica.
• Una aplicación es un valor absoluto ultramétrico si y solo si es un valor absoluto asociado a una valoración con valores reales.^[2]​

Propiedades

• Aquí ${\displaystyle e}$ denota el elemento neutro para la multiplicación de K.

Enunciado: si ${\displaystyle |e|=|-e|=1}$ entonces ${\displaystyle |-x|=|x|}$ para cualquier elemento ${\displaystyle x}$ de K.[3]​

Demostración

${\displaystyle |e|=|e.e|=|e|.|e|}$. La ecuación ${\displaystyle |e|=|e|.|e|}$ para el valor ${\displaystyle |e|}$ tiene solo dos soluciones en ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ${\displaystyle 0}$ y ${\displaystyle 1}$. El axioma de separación asegura que ${\displaystyle |e|\neq 0}$, por lo que se deduce que ${\displaystyle |e|=1}$. Asimismo, ${\displaystyle |e|=|-e.-e|=|-e|.|-e|}$, de ahí que ${\displaystyle |-e|^{2}=1}$. Como además el valor absoluto solo toma valores positivos, se tiene que ${\displaystyle |-e|=1}$. Finalmente, ${\displaystyle |-x|=|-e.x|=|-e|.|x|=1.|x|=|x|}$ y, por lo tanto, ${\displaystyle |-x|=|x|}$.[1]​

• Para cualquier pareja (a, b) de elementos del cuerpo K:

''Enunciado: ${\displaystyle |a|\neq |b|\Rightarrow |a+b|=\max(|a|,|b|)}$[4]​

Demostración

Como ${\displaystyle |a|\neq |b|}$, uno de los dos es estrictamente inferior al otro. Se supone (sin pérdida de generalidad) que ${\displaystyle |a|<|b|}$. Entonces, de la desigualdad ultramétrica, ${\displaystyle |b|=|(b+a)+(-a)|\leq \max(|b+a|,|-a|)}$. O ${\displaystyle |-a|=|a|}$ según una propiedad anterior. Entonces se tiene que ${\displaystyle |b|\leq \max(|b+a|,|a|)}$. Como ${\displaystyle |a|}$ es por hipótesis estrictamente menor que ${\displaystyle |b|}$, esta desigualdad solo se puede verificar si ${\displaystyle |b|\leq |b+a|}$. Volviendo a aplicar la desigualdad ultramétrica, se tiene que ${\displaystyle |b+a|\leq \max(|b|,|a|)=|b|}$. Al reunir estos dos resultados, resulta que ${\displaystyle |b|\leq |b+a|\leq |b|}$, lo que prueba que ${\displaystyle |a+b|=|b|=\max(|a|,|b|)}$.[1]​

Referencias

1. Aigner, Martin; Ziegler, Günter M.; Puech, Nicolas (2013 (3ª edición)). Springer, ed. Raisonnements divins (quelques démonstrations mathématiques particulièrement élégantes) (en francés). Paris/Berlin/Heidelberg etc. pp. 150-151 de 308. ISBN 978-2-8178-0399-9. 
2. Nicolas Bourbaki, Algèbre commutative, chap. 6, § 6, n°|2, Valor absoluto ultramétrico en Google Libros
3. Estas propiedades provienen del hecho de que este es un caso especial de valor absoluto en un cuerpo
4. Esta afirmación es equivalente al hecho de que en el espacio métrico (K, d), cualquier triángulo es isósceles y de base menor o igual que los dos lados iguales. Es una propiedad general de los espacios ultramétricos, demostrado en el artículo Distancia ultramétrica

Véase también

• Norma ultramétrica

Enlaces externos

• Portal:matemáticas. Contenido relacionado con matemáticas.

• Datos: Q30748038