Luego de correr en karting hasta 1997, Björk compitió en las Fórmula 3 sueca y nórdica, obteniendo ambos títulos en 1999.[1] Para el año 2000 se fue a los Estados Unidos para disputar la Barber Pro Series. Su mejor resultado en carrera fue un cuarto lugar y tuvo un quinto y tres sextos puestos. Björk terminó 10º en la general.[1]
En 2001 Björk corrió en varias series diferentes; concentrándose en el Campeonato de la FIA de Sport Prototipos, en la clase SR2 en el equipo Sportscar Racing Team Sweden, consagrándose campeón junto con el estadounidense Larry Oberto.[1]
Björk terminó 3° en el Campeonato Sueco de GT, acabando en el podio en 11 de las 12 carreras.[1] También debutó en el STCC, remplazando por un fin de semana al italiano Roberto Colciago del Kristoffersson Motorsport.[1] Allí mostró el ritmo desde el principio, terminando 2° en una de las dos carreras del fin de semana. Él también compitió en las 24 Horas de Daytona, pero abandonó por una avería.[1]
Cuando Niklas Lovén y el equipo WestCoast Racing se separaron a mediados de la temporada de 2004 del STCC, Björk fue llamado para reemplazarlo. Subió a dos podios y terminó en el puesto 11 de la general. Se mantuvo con el equipo para 2005, ganando dos carreras, subiéndose al podio en seis de las ocho carreras y terminó segundo en la general.[1]
En 2006 firmó con el Kristoffersson Motorsport Audi, el mismo equipo que corrió para en 2001. Durante la temporada ganó tres carreras y terminó en el podio en seis ocasiones, obteniendo 59 puntos, a 5 del segundo.[1][3]
Desde 2007 hasta 2010 continuó en el STCC, terminando tercero en 2008 y segundo en 2009.[1]
En 2012 se incorporó al equipo Polestar, para disputar la TTA Racing Elite League con un Volvo S60 oficial, resultando tercero.[1]
En 2013 , el TTA y el STCC se fusionaron. Continuando con Polestar, Björk se consagró campeón ganando ocho carreras de doce. También debutó en el WTCC en el 2013, aunque solo disputando la fecha de China.[1]
En 2014 y 2015, Björk volvió a obtener el título escandinavo, de nuevo con un Volvo S60 oficial de Polestar.[1]
Björk salió del Campeonato Sueco de Turismos para realizar su primera temporada completa en el Campeonato Mundial de Turismos de 2016, con un Volvo S60 oficial de Polestar Cyan Racing. Ganó una carrera en Shanghái, superando a Norbert Michelisz en la penúltima curva, y finalizó décimo en el campeonato.[4]
En el WTCC 2017 continuó con Volvo. Con dos victorias y siete podios, obtuvo el campeonato con casi 30 puntos de ventaja sobre el subcampeón, Norbert Michelisz.[5]
Luego del cambio al WTCR, Volvo abandonó la categoría. Björk ingresó al equipo Yvan Muller Racing (Hyundai) y logró varias victorias a lo largo del año, pero cayó al séptimo puesto en el campeonato debido a muchas carreras fuera de puntos.[6] En 2019, se unió a Lynk & Co, marca desarrollada por Volvo con su equipo administrado por Cyan Racing.[7][8] Ganó en tres ocasiones y logró una regularidad mayor que en la temporada anterior, finalizando cuarto.[9]