En matemáticas, los tests de Dini y de Dini-Lipschitz son procedimientos muy precisos que pueden usarse para probar que la serie de Fourier de una función converge en un punto dado. Reciben su nombre de Ulisse Dini y Rudolf Lipschitz.[1]
Definición
Sea
una función definida en
, sea
un punto y
una constante positiva. Definimos el módulo local de continuidad en el punto
como
![{\displaystyle \left.\right.\omega _{f}(\delta ;t)=\max _{|\varepsilon |\leq \delta }|f(t)-f(t+\varepsilon )|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d09113fff32ad8f23c0ead8e826626e2bf1cb38)
Nótese que se considera
una función periódica. Por ejemplo, si
y
es negativo, se tiene
.
El módulo global de continuidad (o, simplemente, módulo de continuidad) se define como
![{\displaystyle \omega _{f}(\delta )=\max _{t}\omega _{f}(\delta ;t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f00ecab12c180580aa517687f6c89ba7960b868)
Con estas definiciones se pueden enunciar los resultados principales
- Teorema (test de Dini): Supongamos que una función
satisface en un punto
que
![{\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\frac {1}{\delta }}\omega _{f}(\delta ;t)\,\mathrm {d} \delta <\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cfab1ed86791b7fee0d80813074a22a20c51fda)
- Entonces la serie de Fourier de
converge en
a
.
Por ejemplo, el teorema se cumple con
pero no con
.
- Teorema (test de Dini-Lipschitz): Supongamos que una función
satisface
![{\displaystyle \omega _{f}(\delta )=o\left(\log {\frac {1}{\delta }}\right)^{-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a26ce79f63e18c5de5a4c5a1390f249cdc363fb7)
- Entonces la serie de Fourier de
converge uniformemente a
.
En particular, cualquier función de una clase de Hölder satisface el test de Dini-Lipschitz.
Precisión
Ambos tests son lo mejor que pueden ser. Para el test de Dini-Lipschitz, es posible construir una función
cuyo módulo de continuidad satisface el test con
en lugar de
, esto es,
![{\displaystyle \omega _{f}(\delta )=O\left(\log {\frac {1}{\delta }}\right)^{-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1e40608315aea88ce7114148aa275953638c36d)
y la serie de Fourier de
diverge. Para el test de Dini, la afirmación más precisa es un poco más larga. Afirma que para cualquier función
tal que
![{\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\frac {1}{\delta }}\Omega (\delta )\,\mathrm {d} \delta =\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0314252d780334db225a7e589b56002f9a596353)
existe una función
tal que
![{\displaystyle \omega _{f}(\delta ;0)<\Omega (\delta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/206e6f547302e811a1d948a8f2b77aa4a4c5e25a)
y la serie de Fourier de
diverge en 0.
Véase también
Referencias