Teorema maestro de Ramanujan

Página de un cuaderno de Ramanujan declarando su teorema maestro.

En matemáticas, el teorema maestro de Ramanujan, llamado así en honor a Srinivasa Ramanujan,^[1]​ es una técnica que proporciona una expresión analítica para la transformada de Mellin de una función analítica.

El resultado se muestra como sigue:

Si una función de variable compleja ${\textstyle f(x)}$ tiene una expresión de la forma

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\,\varphi (k)\,}{k!}}(-x)^{k}}$

entonces la transformada de Mellin de ${\textstyle f(x)}$ está dada por

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{s-1}f(x)\,dx=\Gamma (s)\,\varphi (-s)}$

donde ${\textstyle \Gamma (s)}$ es la función gamma.

Esto fue usado ampliamente por Ramanujan para calcular integrales definidas y series infinitas.

Versiones en dimensiones altas de este teorema también aparecen en física cuántica (a través de diagramas de Feynman).^[2]​

Un resultado similar fue también obtenido por Glaisher.^[3]​

Formalismo alternativo

Una formulación alternativa del teorema maestro de Ramanujan es la siguiente:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{s-1}\left(\,\lambda (0)-x\,\lambda (1)+x^{2}\,\lambda (2)-\,\cdots \,\right)dx={\frac {\pi }{\,\sin(\pi s)\,}}\,\lambda (-s)}$

la cual se convierte en la forma de arriba después de sustituir ${\textstyle \lambda (n)\equiv {\frac {\varphi (n)}{\,\Gamma (1+n)\,}}}$ y usando la ecuación funcional de la función gamma.

La integral de arriba es convergente para ${\textstyle 0<\operatorname {\mathcal {Re}} (s)<1}$ sujeta a las condiciones de crecimiento de ${\textstyle \varphi }$.^[4]​

Demostración

Una demostración sujeta a supuestos "naturales" (aunque no a las condiciones necesarias más débiles) del teorema maestro de Ramanujan fue proporcionada por G. H. Hardy^[5]​ (capítulo XI) empleando el teorema de los residuos y el bien conocido teorema de inversión de Mellin.

Referencias

1. Berndt, B. (1985). Ramanujan's Notebooks, Part I. New York: Springer-Verlag. 
2. González, Iván; Moll, V.H.; Schmidt, Iván (2011). «A generalized Ramanujan Master Theorem applied to the evaluation of Feynman diagrams». arXiv:1103.0588  [math-ph]. 
3. Glaisher, J.W.L. (1874). «A new formula in definite integrals». The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science 48 (315): 53-55. doi:10.1080/14786447408641072. 
4. Amdeberhan, Tewodros; Gonzalez, Ivan; Harrison, Marshall; Moll, Victor H.; Straub, Armin (2012). «Ramanujan's Master Theorem». The Ramanujan Journal 29 (1–3): 103-120. S2CID 8886049. doi:10.1007/s11139-011-9333-y.  Parámetro desconocido |citeseerx= ignorado (ayuda)
5. Hardy, G.H. (1978). Ramanujan: Twelve lectures on subjects suggested by his life and work (3rd edición). New York, NY: Chelsea. ISBN 978-0-8284-0136-4. 

Enlaces externos

• «Ramanujan's Master Theorem». mathworld.wolfram.com. 
• «rmt». ArminStraub. publications.