En matemática , la tangente es una función impar y es una función periódica de periodo
π π -->
{\displaystyle \pi }
π π -->
2
+
n
π π -->
,
n
∈ ∈ -->
Z
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+n\pi ,\;n\in \mathbb {Z} }
función trascendente de variable real. Su nombre se abrevia de las dos siguientes formas: tan y tg .[ 1]
tg
x
=
− − -->
tg
-->
(
− − -->
x
)
{\displaystyle \operatorname {tg} \;x=-\operatorname {tg} (-x)}
tg
x
=
tg
-->
(
π π -->
+
x
)
{\displaystyle \operatorname {tg} \;x=\operatorname {tg} (\pi +x)}
En trigonometría , la tangente de un ángulo (de un triángulo rectángulo ) se define como la razón entre el cateto opuesto y el adyacente:
tg
-->
α α -->
=
a
b
=
B
C
O
C
{\displaystyle \operatorname {tg} \alpha ={\frac {a}{b}}={\frac {BC}{OC}}}
Esta razón no depende del tamaño del triángulo rectángulo escogido sino que es una función dependiente del ángulo
α α -->
.
{\displaystyle \alpha .}
Esta construcción permite representar el valor del tangente para ángulos no agudos.
Semejanza
Dada la circunferencia de radio 1 y una recta r que pasa por el centro, describe un triángulo rectángulo con ángulo
α α -->
{\displaystyle \alpha }
tg
-->
α α -->
=
C
B
A
C
=
D
E
A
D
=
D
E
1
=
D
E
{\displaystyle \operatorname {tg} \alpha ={\frac {CB}{AC}}={\frac {DE}{AD}}={\frac {DE}{1}}=DE}
El segmento
D
E
{\displaystyle DE}
α α -->
.
{\displaystyle \alpha .}
Identidades
Esta identidad trigonométrica parte de la identidad de la suma de dos ángulos ya conocida para el seno y el coseno .
Dados los ángulos
α α -->
,
θ θ -->
{\displaystyle \alpha ,\theta }
tg
-->
(
α α -->
+
θ θ -->
)
=
sen
-->
(
α α -->
+
θ θ -->
)
cos
-->
(
α α -->
+
θ θ -->
)
{\displaystyle \operatorname {tg} \left(\alpha +\theta \right)={\cfrac {\operatorname {sen}(\alpha +\theta )}{\cos(\alpha +\theta )}}}
Reemplazando por las identidades antes mencionadas:
tg
-->
(
α α -->
+
θ θ -->
)
=
sen
-->
α α -->
cos
-->
θ θ -->
+
cos
-->
α α -->
sen
-->
θ θ -->
cos
-->
α α -->
cos
-->
θ θ -->
− − -->
sen
-->
α α -->
sen
-->
θ θ -->
{\displaystyle \operatorname {tg} \left(\alpha +\theta \right)={\cfrac {\operatorname {sen} \alpha \cos \theta +\cos \alpha \operatorname {sen} \theta }{\cos \alpha \cos \theta -\operatorname {sen} \alpha \operatorname {sen} \theta }}}
Dividiendo al numerador y al denominador por
cos
-->
α α -->
cos
-->
θ θ -->
{\displaystyle \cos \alpha \cos \theta \,}
tg
-->
(
α α -->
+
θ θ -->
)
=
sen
-->
α α -->
cos
-->
θ θ -->
+
cos
-->
α α -->
sen
-->
θ θ -->
cos
-->
α α -->
cos
-->
θ θ -->
cos
-->
α α -->
cos
-->
θ θ -->
− − -->
sen
-->
α α -->
sen
-->
θ θ -->
cos
-->
α α -->
cos
-->
θ θ -->
{\displaystyle \operatorname {tg} \left(\alpha +\theta \right)={\cfrac {\cfrac {\operatorname {sen} \alpha \cos \theta +\cos \alpha \operatorname {sen} \theta }{\cos \alpha \cos \theta }}{\cfrac {\cos \alpha \cos \theta -\operatorname {sen} \alpha \operatorname {sen} \theta }{\cos \alpha \cos \theta }}}}
Separando la suma y la resta y simplificando:
tg
-->
(
α α -->
+
θ θ -->
)
=
tg
-->
α α -->
+
tg
-->
θ θ -->
1
− − -->
tg
-->
α α -->
tg
-->
θ θ -->
{\displaystyle \operatorname {tg} \left(\alpha +\theta \right)={\cfrac {\operatorname {tg} \alpha +\operatorname {tg} \theta }{1-\operatorname {tg} \alpha \operatorname {tg} \theta }}}
tg
-->
(
α α -->
+
(
− − -->
θ θ -->
)
)
=
tg
-->
α α -->
+
tg
-->
(
− − -->
θ θ -->
)
1
− − -->
tg
-->
α α -->
tg
-->
(
− − -->
θ θ -->
)
{\displaystyle \operatorname {tg} \left(\alpha +(-\theta )\right)={\frac {\operatorname {tg} \alpha +\operatorname {tg} (-\theta )}{1-\operatorname {tg} \alpha \operatorname {tg} (-\theta )}}}
tg
-->
(
α α -->
− − -->
θ θ -->
)
=
tg
-->
α α -->
− − -->
tg
-->
θ θ -->
1
+
tg
-->
α α -->
tg
-->
θ θ -->
{\displaystyle \operatorname {tg} \left(\alpha -\theta \right)={\frac {\operatorname {tg} \alpha -\operatorname {tg} \theta }{1+\operatorname {tg} \alpha \operatorname {tg} \theta }}}
tg
-->
(
α α -->
± ± -->
θ θ -->
)
=
tg
-->
α α -->
± ± -->
tg
-->
θ θ -->
1
∓ ∓ -->
tg
-->
α α -->
tg
-->
θ θ -->
{\displaystyle \operatorname {tg} \left(\alpha \pm \theta \right)={\frac {\operatorname {tg} \alpha \pm \operatorname {tg} \theta }{1\mp \operatorname {tg} \alpha \operatorname {tg} \theta }}}
Partiendo de
tg
-->
(
α α -->
+
θ θ -->
)
=
tg
-->
α α -->
+
tg
-->
θ θ -->
1
− − -->
tg
-->
α α -->
tg
-->
θ θ -->
{\displaystyle \operatorname {tg} \left(\alpha +\theta \right)={\frac {\operatorname {tg} \alpha +\operatorname {tg} \theta }{1-\operatorname {tg} \alpha \operatorname {tg} \theta }}}
y haciendo
α α -->
=
θ θ -->
{\displaystyle \alpha =\theta \,}
tg
-->
(
2
α α -->
)
=
2
tg
-->
α α -->
1
− − -->
tg
2
-->
α α -->
{\displaystyle \operatorname {tg} \left(2\alpha \right)={\frac {2\operatorname {tg} \alpha }{1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}}
Conociendo la tangente del ángulo ψ, hallar la tangente de 3ψ
tg
-->
(
3
ψ ψ -->
)
=
3
tg
-->
ψ ψ -->
− − -->
tg
3
-->
ψ ψ -->
1
− − -->
3
tg
2
-->
ψ ψ -->
{\displaystyle \operatorname {tg} \left(3\psi \right)={\frac {3\operatorname {tg} \psi -\operatorname {tg} ^{3}\psi }{1-3\operatorname {tg} ^{2}\psi }}}
Se trata de hallar la tangente de la mitad de θ, conociendo los de θ:
tg
-->
θ θ -->
2
=
sen
-->
θ θ -->
1
+
cos
-->
θ θ -->
{\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\theta }{2}}={\frac {\operatorname {sen} \theta }{1+\cos \theta }}}
[ 2]
Derivada de la tangente
[
tg
-->
(
x
)
]
′
=
sec
2
-->
(
x
)
{\displaystyle [\operatorname {tg} (x)]'=\sec ^{2}(x)\,}
Referencias y notas
↑ En algunos textos o librerías de programas usan la abreviación tg
↑ Granville et all: Op. cit
Enlaces externos
![{\displaystyle [\operatorname {tg} (x)]'=\sec ^{2}(x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fff8eb155c6f7f52899e40e70e24b2fa101795e7)
