Segunda conjetura de Hardy-Littlewood

Segunda conjetura de Hardy-Littlewood
Gráfico de ${\displaystyle \pi (x)+\pi (y)-\pi (x+y)}$ para ${\displaystyle x,y\leq 200}$
Campo	Teoría de números
Conjeturado en	1923
Problema abierto	Sí

En teoría de números, la segunda conjetura de Hardy-Littlewood se refiere al número de números primos en intervalos dados. Junto con su primera conjetura sobre números primos gemelos, Godfrey Harold Hardy y John Edensor Littlewood propusieron la segunda conjetura de Hardy-Littlewood en 1923.^[1]​

Enunciado

La conjetura establece que

${\displaystyle \pi (x+y)\leq \pi (x)+\pi (y)}$

para números enteros x, y ≥ 2, donde π(z) denota la función contador de números primos, dando el número de números primos hasta e incluyendo a z.

Conexión con la primera conjetura de Hardy-Littlewood

El enunciado de la segunda conjetura de Hardy-Littlewood es equivalente al enunciado de que el número de primos de x + 1 a x + y siempre es menor o igual que el número de primos de 1 a y. Se demostró que esto es inconsistente con la primera conjetura de Hardy-Littlewood sobre las k-tuplas de números primos, y se espera que la primera violación de la conjetura se produzca probablemente para valores muy grandes de x.^[2]​^[3]​ Por ejemplo, un k-tupla admisible (o k-tupla de números primos) de 447 números primos se puede encontrar en un intervalo de números enteros y= 3159, mientras que π(3159) = 446. Si se cumple la primera conjetura de Hardy-Littlewood, entonces se espera la primera k-tupla para x mayor que 1.5 × 10¹⁷⁴ pero menor que 2.2 × 10¹¹⁹⁸.^[4]​

Referencias

1. Hardy, G. H.; Littlewood, J. E. (1923). «Some Problems of 'Partitio Numerorum.' III. On the Expression of a Number as a Sum of Primes.». Acta Math. 44 (44): 1-70. doi:10.1007/BF02403921. .
2. Hensley, Douglas; Richards, Ian. «Primes in intervals». Acta Arith. 25 (1973/74): 375-391. MR 396440. doi:10.4064/aa-25-4-375-391. 
3. Richards, Ian (1974). «On the Incompatibility of Two Conjectures Concerning Primes». Bull. Amer. Math. Soc. 80: 419-438. doi:10.1090/S0002-9904-1974-13434-8. 
4. «447-tuple calculations». Consultado el 12 de agosto de 2008. 

Enlaces externos

• Engelsma, Thomas J. «k-tuple Permissible Patterns». Consultado el 12 de agosto de 2008. 
• Oliveira e Silva, Tomás. «Admissible prime constellations». Consultado el 12 de agosto de 2008. 

• Datos: Q2920423