Relaciones de Cardano-Vieta

Sea el polinomio ${\displaystyle P(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+...+a_{k}z^{k}\,}$ perteneciente a C[z], de grado k y coeficientes en el cuerpo ℂ de los números complejos, y sean sus k raíces ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},...,z_{k}\,}$ (pertenecientes a C ^[1]​), entonces se satisfacen exactamente las siguientes k distintas igualdades :

${\displaystyle z_{1}*z_{2}*z_{3}*...*z_{k}=(-1)^{k}*{a_{0} \over a_{k}}}$

${\displaystyle z_{1}*z_{2}*z_{3}*...*z_{k-1}+...+z_{2}*z_{3}*...z_{k}=(-1)^{k-1}*{a_{1} \over a_{k}}}$

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${\displaystyle z_{1}*z_{2}*z_{3}*...*z_{j}+...+z_{k-j+1}*z_{k-j+2}*...z_{k}=(-1)^{j}*{a_{k-j} \over a_{k}}}$

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${\displaystyle z_{1}*z_{2}+z_{1}*z_{3}+...+z_{k-1}*z_{k}=(-1)^{2}*{a_{k-2} \over a_{k}}={a_{k-2} \over a_{k}}}$

${\displaystyle z_{1}+z_{2}+z_{3}+...+z_{k}={(-1)^{1}*a_{k-1} \over a_{k}}=-{a_{k-1} \over a_{k}}}$

Cada ecuación sumará todos los posibles productos que se formarán con j raíces y lo igualará el cociente (con su signo correspondiente) entre el coeficiente j-ésimo del polinomio y el coeficiente principal del polinomio.

Estas relaciones sirven sobre todo para obtener determinados polinomios conocidas sus raíces. Cabe destacar que si conocemos k raíces de un polinomio de grado k, podremos encontrar a partir de estas relaciones un único polinomio de grado k que posea estas raíces (a menos de una constante multiplicativa).

Demostración

Factorizamos el polinomio:

${\displaystyle P(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+...+a_{k}z^{k}=a_{k}(z-z_{1})(z-z_{2})(z-z_{3})\cdots (z-z_{k})\,}$

Y realizamos el producto del miembro de la derecha y comparamos los coeficientes de cada término ${\displaystyle z^{j}}$, donde ${\displaystyle 0\leq j<k}$:

${\displaystyle a_{k-1}=(-1)^{1}*a_{k}*(z_{1}+z_{2}+z_{3}+...+z_{k})}$

${\displaystyle a_{k-2}=(-1)^{2}*a_{k}*(z_{1}*z_{2}+z_{1}*z_{3}+...+z_{k-1}*z_{k})}$

${\displaystyle \ldots }$

${\displaystyle a_{j}=(-1)^{k-j}*a_{k}*(z_{1}*z_{2}*z_{3}*...*z_{j}+...+z_{k-j+1}*z_{k-j+2}*...z_{k})}$

${\displaystyle \ldots }$

${\displaystyle a_{1}=(-1)^{k-1}*a_{k}*(z_{1}*z_{2}*z_{3}*...*z_{k-1}+...+z_{2}*z_{3}*...z_{k})}$

${\displaystyle a_{0}=(-1)^{k}*a_{k}*(z_{1}*z_{2}*z_{3}*...*z_{k})}$

De aquí ya se obtienen de inmediato las fórmulas de Cardano-Vieta.

Referencias

1. Por ser ℂ algebraicamente cerrado y por el Teorema fundamental del álgebra

• Datos: Q570779